MathematisueTerminale

Intégrales en terminale : bases et calcul

4 notions clés16 flashcardsMis à jour le 14 mai 2026

Le résumé

Comprendre le cours

L'intégrale est un outil fondamental pour calculer des aires sous des courbes et d'autres grandeurs accumulées. En terminale, on se concentre sur l'intégrale définie, qui relie l'aire à la notion de primitive via le Théorème Fondamental de l'Analyse : $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$ , où $F$ est une primitive de $f$ . Les primitives sont les fonctions dont la dérivée est la fonction d'origine. Des propriétés comme la linéarité et la comparaison permettent de manipuler et estimer les intégrales. L'intégrale est la somme d'une infinité de 'tranches' infinitesimales, représentant une accumulation.

Avant de commencer

Prérequis

Notion de fonction et ses propriétés (continuité, dérivabilité).
Calcul des dérivées des fonctions usuelles.
Algèbre de base (manipulation d'expressions littérales).

Le plan

Structure du cours

1
Les Intégrales : Calcul et Applications
1. Notion d'Intégrale : Aire sous une Courbe2. Calcul des Intégrales : Primitives et Théorème Fondamental3. Propriétés des Intégrales4. Applications des Intégrales
- L'intégrale comme mesure d'aire sous une courbe.
- Le lien fondamental entre dérivée et intégrale via les primitives.
- Les propriétés opératorielles et de croissance des intégrales.
- Applications en physique, probabilités et géométrie.

À retenir

Notions clés

Intégrale Définie

À mémoriser

La valeur numérique d'une intégrale définie $\int_{a}^{b} f(x) dx$ représente l'aire (signée) de la région délimitée par la courbe de la fonction $f$ , l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations $x=a$ et $x=b$ . On la calcule en utilisant les primitives.

Exemple

L'intégrale de $f(x) = x^2$ de 0 à 1 est $\int_{0}^{1} x^2 dx$ .

Primitive d'une Fonction

À mémoriser

Une fonction $F$ est une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x$ dans $I$ . Une fonction admet une infinité de primitives, qui diffèrent par une constante additive.

Exemple

Pour $f(x) = 2x$ , une primitive est $F(x) = x^2$ . Une autre primitive est $G(x) = x^2 + 5$ .

Théorème Fondamental de l'Analyse

À mémoriser

Pour une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a, b]$ , et $F$ une primitive de $f$ sur $[a, b]$ , on a : $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$ .

Exemple

Pour calculer $\int_{0}^{1} x^2 dx$ , on trouve une primitive de $x^2$ , qui est $F(x) = \frac{x^3}{3}$ . Alors $\int_{0}^{1} x^2 dx = F(1) - F(0) = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$ .

Intégrale Indéfinie (ou Antidérivée)

L'ensemble de toutes les primitives d'une fonction $f$ s'appelle l'intégrale indéfinie de $f$ , notée $\int f(x) dx = F(x) + C$ , où $F$ est une primitive particulière et $C$ est une constante arbitraire.

Exemple

L'intégrale indéfinie de $f(x) = \cos(x)$ est $\int \cos(x) dx = \sin(x) + C$ .

En pratique

Exemple résolu

Calculer l'aire de la région délimitée par la courbe de la fonction $f(x) = -x^2 + 4$ , l'axe des abscisses et les droites $x=-1$ et $x=2$ .

1
Étape 1 : Identifier la fonction $f(x) = -x^2 + 4$ et l'intervalle d'intégration $[a, b] = [-1, 2]$ .
2
Étape 2 : Vérifier que la fonction est bien continue sur l'intervalle. Trouver une primitive de $f(x)$ . Une primitive est $F(x) = -\frac{x^3}{3} + 4x$ .
3
Étape 3 : Appliquer le Théorème Fondamental de l'Analyse : $\int_{-1}^{2} (-x^2 + 4) dx = F(2) - F(-1)$ .
4
Étape 4 : Calculer $F(2) = -\frac{2^3}{3} + 4(2) = -\frac{8}{3} + 8 = \frac{16}{3}$ .
5
Étape 5 : Calculer $F(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} + 4(-1) = -\frac{-1}{3} - 4 = \frac{1}{3} - 4 = -\frac{11}{3}$ .
6
Résultat : L'aire est $F(2) - F(-1) = \frac{16}{3} - (-\frac{11}{3}) = \frac{16+11}{3} = \frac{27}{3} = 9$ unités carrées.

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Primitive

Pensez à la primitive comme la 'fonction d'origine'. Si la dérivée 'affaiblit' une fonction (par exemple, en abaissant le degré d'un polynôme), la primitive 'restaure' la fonction (en augmentant le degré). C'est l'opération inverse de la dérivation.

Intégrale Définie

Imaginez que vous découpez la région sous la courbe en fines tranches verticales. L'intégrale additionne (somme) l'aire de toutes ces fines tranches pour obtenir l'aire totale. Le symbole $\int$ ressemble à un 'S' allongé, pour 'Somme'.

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Oublier la constante d'intégration ' $+ C$ ' pour les intégrales indéfinies.

La constante ' $+ C$ ' est essentielle car il existe une infinité de primitives pour une fonction donnée. Cependant, pour les intégrales définies $\int_{a}^{b} f(x) dx$ , la constante s'annule lors du calcul $F(b) - F(a)$ , donc on ne l'écrit pas.

Confondre l'aire avec la valeur de l'intégrale définie quand la fonction est négative.

L'intégrale définie $\int_{a}^{b} f(x) dx$ calcule une aire algébrique. Si $f(x)$ est négative sur $[a, b]$ , l'intégrale sera négative. Pour obtenir l'aire géométrique positive, il faut soit intégrer la valeur absolue $|f(x)|$ , soit prendre la valeur absolue de l'intégrale si la fonction est toujours négative sur l'intervalle.

Appliquer les formules de primitives à l'envers.

Il est crucial de bien maîtriser les formules de primitives. Par exemple, la primitive de $\frac{1}{x}$ n'est pas $\ln|x|$ pour $x < 0$ s'il y a confusion avec la dérivée de $\ln(x)$ . Toujours vérifier en dérivant la primitive trouvée.

Se tester

Flashcards

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Le résumé

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Calcul des dérivées des fonctions usuelles.
Algèbre de base (manipulation d'expressions littérales).

Le plan

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1
Les Intégrales : Calcul et Applications
1. Notion d'Intégrale : Aire sous une Courbe2. Calcul des Intégrales : Primitives et Théorème Fondamental3. Propriétés des Intégrales4. Applications des Intégrales
- L'intégrale comme mesure d'aire sous une courbe.
- Le lien fondamental entre dérivée et intégrale via les primitives.
- Les propriétés opératorielles et de croissance des intégrales.
- Applications en physique, probabilités et géométrie.

À retenir

Notions clés

Intégrale Définie

À mémoriser

Exemple

L'intégrale de $f(x) = x^2$ de 0 à 1 est $\int_{0}^{1} x^2 dx$ .

Primitive d'une Fonction

À mémoriser

Exemple

Pour $f(x) = 2x$ , une primitive est $F(x) = x^2$ . Une autre primitive est $G(x) = x^2 + 5$ .

Théorème Fondamental de l'Analyse

À mémoriser

Pour une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a, b]$ , et $F$ une primitive de $f$ sur $[a, b]$ , on a : $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$ .

Exemple

Pour calculer $\int_{0}^{1} x^2 dx$ , on trouve une primitive de $x^2$ , qui est $F(x) = \frac{x^3}{3}$ . Alors $\int_{0}^{1} x^2 dx = F(1) - F(0) = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$ .

Intégrale Indéfinie (ou Antidérivée)

Exemple

L'intégrale indéfinie de $f(x) = \cos(x)$ est $\int \cos(x) dx = \sin(x) + C$ .

En pratique

Exemple résolu

Calculer l'aire de la région délimitée par la courbe de la fonction $f(x) = -x^2 + 4$ , l'axe des abscisses et les droites $x=-1$ et $x=2$ .

1
Étape 1 : Identifier la fonction $f(x) = -x^2 + 4$ et l'intervalle d'intégration $[a, b] = [-1, 2]$ .
2
Étape 2 : Vérifier que la fonction est bien continue sur l'intervalle. Trouver une primitive de $f(x)$ . Une primitive est $F(x) = -\frac{x^3}{3} + 4x$ .
3
Étape 3 : Appliquer le Théorème Fondamental de l'Analyse : $\int_{-1}^{2} (-x^2 + 4) dx = F(2) - F(-1)$ .
4
Étape 4 : Calculer $F(2) = -\frac{2^3}{3} + 4(2) = -\frac{8}{3} + 8 = \frac{16}{3}$ .
5
Étape 5 : Calculer $F(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} + 4(-1) = -\frac{-1}{3} - 4 = \frac{1}{3} - 4 = -\frac{11}{3}$ .
6
Résultat : L'aire est $F(2) - F(-1) = \frac{16}{3} - (-\frac{11}{3}) = \frac{16+11}{3} = \frac{27}{3} = 9$ unités carrées.

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Astuces & analogies

Primitive

Intégrale Définie

Ne plus se tromper

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Oublier la constante d'intégration ' $+ C$ ' pour les intégrales indéfinies.

Confondre l'aire avec la valeur de l'intégrale définie quand la fonction est négative.

Appliquer les formules de primitives à l'envers.

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Théorème Fondamental de l'Analyse

Intégrale Indéfinie (ou Antidérivée)

Exemple résolu

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Primitive

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Intégrale Définie

Primitive d'une Fonction

Théorème Fondamental de l'Analyse

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Primitive

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