Intégrales : primitives et calcul d'aire

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Intégrales : primitives et calcul d'aire - Résumé de cours Msgn | Tutooris | Tutooris

Le plan

Structure du cours

1
Introduction aux intégrales : l'aire sous la courbe
Définition intuitive : somme d'aires de rectanglesPassage à la limite : la définition formelle de l'intégrale
- L'intégrale est une généralisation de la notion d'aire.
- L'aire sous la courbe d'une fonction positive est calculée en divisant la surface en une infinité de rectangles infiniment fins.
2
Propriétés fondamentales des intégrales
Linéarité de l'intégraleAdditivité par intervallesComparaison et intégration
- L'intégrale d'une somme est la somme des intégrales.
- L'intégrale d'une fonction multipliée par une constante est cette constante fois l'intégrale de la fonction.
- Si $f(x) \le g(x)$ sur un intervalle, alors $\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx$ .
3
Calcul de primitives
Définition d'une primitiveEnsemble des primitivesPrimitives usuelles
- Une primitive de $f$ est une fonction $F$ telle que $F'(x) = f(x)$ .
- Toutes les primitives d'une fonction $f$ diffèrent par une constante.
- Il faut connaître les primitives des fonctions de référence.
4
L'intégrale définie et le théorème fondamental de l'analyse
Calcul de l'intégrale définie grâce aux primitivesLien entre dérivée et intégrale
- Si $F$ est une primitive de $f$ , alors $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ .
- C'est le lien essentiel entre dérivation et intégration.
5
Techniques de calcul d'intégrales
Intégration par partiesChangement de variable (niveau plus avancé, souvent optionnel en TS)
- L'intégration par parties permet de transformer une intégrale difficile en une autre, souvent plus simple, grâce à la formule : $\int_a^b u'(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x) dx$ .
- Le changement de variable est utile pour simplifier l'intégrande.
6
Applications des intégrales
Calcul d'aires planesCalcul de volumes de solides de révolution
- L'intégrale permet de calculer l'aire délimitée par une courbe, l'axe des abscisses et deux droites verticales.
- Elle permet aussi de calculer le volume de corps obtenus par rotation d'une surface.

À retenir

Notions clés

Primitive

À mémoriser

Une fonction $F$ est une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si, pour tout $x$ de $I$ , $F'(x) = f(x)$ .

Exemple

Une primitive de $f(x) = 2x$ est $F(x) = x^2$ , car $F'(x) = 2x$ . Une autre primitive est $G(x) = x^2 + 3$ .

Intégrale définie

À mémoriser

Pour une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a, b]$ , son intégrale définie de $a$ à $b$ , notée $\int_a^b f(x) dx$ , représente l'aire algébrique sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$ .

Exemple

L'intégrale $\int_0^1 x dx$ vaut $\frac{1}{2}$ , représentant l'aire d'un triangle rectangle sous la droite $y=x$ .

Théorème fondamental de l'analyse

À mémoriser

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$ , alors $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ . On note souvent $[F(x)]_a^b$ pour $F(b) - F(a)$ .

Exemple

Pour calculer $\int_1^3 x^2 dx$ , on trouve une primitive de $x^2$ , qui est $\frac{x^3}{3}$ . Donc $\int_1^3 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$ .

Intégration par parties

Formule permettant de calculer une intégrale en la transformant : $\int_a^b u'(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x) dx$ . Elle est utile lorsque le produit de deux fonctions est difficile à intégrer directement.

Exemple

Pour calculer $\int_0^1 x e^x dx$ , on peut poser $u'(x) = e^x$ (donc $u(x) = e^x$ ) et $v(x) = x$ (donc $v'(x) = 1$ ). L'intégrale devient $[x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx$ qui est plus facile à calculer.

Comprendre le cours

Prérequis

Structure du cours

Introduction aux intégrales : l'aire sous la courbe

Propriétés fondamentales des intégrales

Calcul de primitives

L'intégrale définie et le théorème fondamental de l'analyse

Techniques de calcul d'intégrales

Applications des intégrales

Notions clés

Primitive

Intégrale définie

Théorème fondamental de l'analyse

Intégration par parties

Exemple résolu

Astuces & analogies

Relation entre primitive et intégrale

Intégration par parties

Erreurs fréquentes

Flashcards