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Intégrales : primitives et calcul d'aire

4 notions clés13 flashcardsMis à jour le 11 juin 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Le chapitre sur les intégrales introduit le calcul de l'aire sous une courbe, une généralisation des aires géométriques. L'outil clé est le calcul de primitives. Une primitive $F$ d'une fonction $f$ vérifie $F'=f$ . Le théorème fondamental de l'analyse stipule que l'intégrale définie $\int_a^b f(x) dx$ se calcule par $F(b) - F(a)$ , où $F$ est une primitive de $f$ . Les intégrales possèdent des propriétés de linéarité et d'additivité par intervalles. Des techniques comme l'intégration par parties permettent de calculer des intégrales plus complexes, notamment pour l'aire de surfaces et le volume de solides de révolution.

Avant de commencer

Prérequis

Notion de fonction et de courbe représentative
Dérivée d'une fonction et propriétés des dérivées
Calcul de limites de fonctions
Notions d'aires géométriques simples (rectangle, triangle)

Le plan

Structure du cours

1
Introduction aux intégrales : l'aire sous la courbe
Définition intuitive : somme d'aires de rectanglesPassage à la limite : la définition formelle de l'intégrale
- L'intégrale est une généralisation de la notion d'aire.
- L'aire sous la courbe d'une fonction positive est calculée en divisant la surface en une infinité de rectangles infiniment fins.
2
Propriétés fondamentales des intégrales
Linéarité de l'intégraleAdditivité par intervallesComparaison et intégration
- L'intégrale d'une somme est la somme des intégrales.
- L'intégrale d'une fonction multipliée par une constante est cette constante fois l'intégrale de la fonction.
- Si $f(x) \le g(x)$ sur un intervalle, alors $\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx$ .
3
Calcul de primitives
Définition d'une primitiveEnsemble des primitivesPrimitives usuelles
- Une primitive de $f$ est une fonction $F$ telle que $F'(x) = f(x)$ .
- Toutes les primitives d'une fonction $f$ diffèrent par une constante.
- Il faut connaître les primitives des fonctions de référence.
4
L'intégrale définie et le théorème fondamental de l'analyse
Calcul de l'intégrale définie grâce aux primitivesLien entre dérivée et intégrale
- Si $F$ est une primitive de $f$ , alors $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ .
- C'est le lien essentiel entre dérivation et intégration.
5
Techniques de calcul d'intégrales
Intégration par partiesChangement de variable (niveau plus avancé, souvent optionnel en TS)
- L'intégration par parties permet de transformer une intégrale difficile en une autre, souvent plus simple, grâce à la formule : $\int_a^b u'(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x) dx$ .
- Le changement de variable est utile pour simplifier l'intégrande.
6
Applications des intégrales
Calcul d'aires planesCalcul de volumes de solides de révolution
- L'intégrale permet de calculer l'aire délimitée par une courbe, l'axe des abscisses et deux droites verticales.
- Elle permet aussi de calculer le volume de corps obtenus par rotation d'une surface.

À retenir

Notions clés

Primitive

À mémoriser

Une fonction $F$ est une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si, pour tout $x$ de $I$ , $F'(x) = f(x)$ .

Exemple

Une primitive de $f(x) = 2x$ est $F(x) = x^2$ , car $F'(x) = 2x$ . Une autre primitive est $G(x) = x^2 + 3$ .

Intégrale définie

À mémoriser

Pour une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a, b]$ , son intégrale définie de $a$ à $b$ , notée $\int_a^b f(x) dx$ , représente l'aire algébrique sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$ .

Exemple

L'intégrale $\int_0^1 x dx$ vaut $\frac{1}{2}$ , représentant l'aire d'un triangle rectangle sous la droite $y=x$ .

Théorème fondamental de l'analyse

À mémoriser

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$ , alors $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ . On note souvent $[F(x)]_a^b$ pour $F(b) - F(a)$ .

Exemple

Pour calculer $\int_1^3 x^2 dx$ , on trouve une primitive de $x^2$ , qui est $\frac{x^3}{3}$ . Donc $\int_1^3 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$ .

Intégration par parties

Formule permettant de calculer une intégrale en la transformant : $\int_a^b u'(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x) dx$ . Elle est utile lorsque le produit de deux fonctions est difficile à intégrer directement.

Exemple

Pour calculer $\int_0^1 x e^x dx$ , on peut poser $u'(x) = e^x$ (donc $u(x) = e^x$ ) et $v(x) = x$ (donc $v'(x) = 1$ ). L'intégrale devient $[x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx$ qui est plus facile à calculer.

En pratique

Exemple résolu

Calculer l'aire de la région délimitée par la courbe d'équation $y = x^2$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=3$

1
Identifier la fonction et l'intervalle d'intégration. Ici, la fonction est $f(x) = x^2$ et l'intervalle est $[1, 3]$ . La fonction est positive sur cet intervalle, donc l'aire est donnée par l'intégrale définie.
2
Trouver une primitive de la fonction $f(x) = x^2$ . Une primitive est $F(x) = \frac{x^3}{3}$ .
3
Appliquer le théorème fondamental de l'analyse pour calculer l'intégrale : $\text{Aire} = \int_1^3 x^2 dx = F(3) - F(1) = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$ .
4
Résultat : L'aire de la région délimitée est de $\frac{26}{3}$ unités d'aire.

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Relation entre primitive et intégrale

Imagine que la dérivation 'détruit' l'information de la constante, et que l'intégration 'la retrouve' (à une constante près). L'intégrale définie, elle, utilise cette 'reconstruction' pour calculer une aire.

Intégration par parties

Pense à 'la règle du produit' pour la dérivation : $(uv)' = u'v + uv'$ . Pour l'intégrale, on essaie d'isoler un terme qui devient plus simple. C'est comme un 'échange' : on dérive une partie et on intègre l'autre, en espérant simplifier le calcul.

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Oublier la constante d'intégration $+C$ lorsqu'on cherche une primitive.

Lorsqu'on cherche 'les' primitives d'une fonction $f$ , il faut toujours ajouter $+C$ , car toutes les fonctions $F(x)+C$ sont des primitives. Cependant, pour le calcul d'une intégrale définie $\int_a^b f(x) dx$ , le $+C$ s'annule : $(F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b) - F(a)$ . Donc, on utilise généralement une primitive particulière (avec $C=0$ ) pour calculer une intégrale définie.

Confondre aire sous la courbe et valeur de l'intégrale quand la fonction n'est pas positive.

L'intégrale définie $\int_a^b f(x) dx$ représente l'aire 'algébrique'. Si $f(x)$ est négative sur $[a, b]$ , l'intégrale sera négative, même si l'aire géométrique est positive. Pour obtenir l'aire géométrique, il faut considérer la valeur absolue de la fonction : $\text{Aire géométrique} = \int_a^b |f(x)| dx$ .

Appliquer l'intégration par parties sans réfléchir à quel terme dériver et quel terme intégrer.

Le choix de $u'(x)$ et $v(x)$ est crucial. L'objectif est que $\int_a^b u(x)v'(x) dx$ soit plus facile à calculer que l'intégrale d'origine. On essaie souvent de dériver des fonctions qui s'annulent ou se simplifient (comme $x^n$ ) et d'intégrer des fonctions dont on connaît facilement la primitive (comme $e^x$ ou $\sin x$ ).

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Le résumé

Comprendre le cours

Avant de commencer

Prérequis

Notion de fonction et de courbe représentative
Dérivée d'une fonction et propriétés des dérivées
Calcul de limites de fonctions
Notions d'aires géométriques simples (rectangle, triangle)

Le plan

Structure du cours

1
Introduction aux intégrales : l'aire sous la courbe
Définition intuitive : somme d'aires de rectanglesPassage à la limite : la définition formelle de l'intégrale
- L'intégrale est une généralisation de la notion d'aire.
- L'aire sous la courbe d'une fonction positive est calculée en divisant la surface en une infinité de rectangles infiniment fins.
2
Propriétés fondamentales des intégrales
Linéarité de l'intégraleAdditivité par intervallesComparaison et intégration
- L'intégrale d'une somme est la somme des intégrales.
- L'intégrale d'une fonction multipliée par une constante est cette constante fois l'intégrale de la fonction.
- Si $f(x) \le g(x)$ sur un intervalle, alors $\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx$ .
3
Calcul de primitives
Définition d'une primitiveEnsemble des primitivesPrimitives usuelles
- Une primitive de $f$ est une fonction $F$ telle que $F'(x) = f(x)$ .
- Toutes les primitives d'une fonction $f$ diffèrent par une constante.
- Il faut connaître les primitives des fonctions de référence.
4
L'intégrale définie et le théorème fondamental de l'analyse
Calcul de l'intégrale définie grâce aux primitivesLien entre dérivée et intégrale
- Si $F$ est une primitive de $f$ , alors $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ .
- C'est le lien essentiel entre dérivation et intégration.
5
Techniques de calcul d'intégrales
Intégration par partiesChangement de variable (niveau plus avancé, souvent optionnel en TS)
- L'intégration par parties permet de transformer une intégrale difficile en une autre, souvent plus simple, grâce à la formule : $\int_a^b u'(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x) dx$ .
- Le changement de variable est utile pour simplifier l'intégrande.
6
Applications des intégrales
Calcul d'aires planesCalcul de volumes de solides de révolution
- L'intégrale permet de calculer l'aire délimitée par une courbe, l'axe des abscisses et deux droites verticales.
- Elle permet aussi de calculer le volume de corps obtenus par rotation d'une surface.

À retenir

Notions clés

Primitive

À mémoriser

Une fonction $F$ est une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si, pour tout $x$ de $I$ , $F'(x) = f(x)$ .

Exemple

Une primitive de $f(x) = 2x$ est $F(x) = x^2$ , car $F'(x) = 2x$ . Une autre primitive est $G(x) = x^2 + 3$ .

Intégrale définie

À mémoriser

Pour une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a, b]$ , son intégrale définie de $a$ à $b$ , notée $\int_a^b f(x) dx$ , représente l'aire algébrique sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$ .

Exemple

L'intégrale $\int_0^1 x dx$ vaut $\frac{1}{2}$ , représentant l'aire d'un triangle rectangle sous la droite $y=x$ .

Théorème fondamental de l'analyse

À mémoriser

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$ , alors $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ . On note souvent $[F(x)]_a^b$ pour $F(b) - F(a)$ .

Exemple

Intégration par parties

Exemple

En pratique

Exemple résolu

Calculer l'aire de la région délimitée par la courbe d'équation $y = x^2$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=3$

1
Identifier la fonction et l'intervalle d'intégration. Ici, la fonction est $f(x) = x^2$ et l'intervalle est $[1, 3]$ . La fonction est positive sur cet intervalle, donc l'aire est donnée par l'intégrale définie.
2
Trouver une primitive de la fonction $f(x) = x^2$ . Une primitive est $F(x) = \frac{x^3}{3}$ .
3
Appliquer le théorème fondamental de l'analyse pour calculer l'intégrale : $\text{Aire} = \int_1^3 x^2 dx = F(3) - F(1) = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$ .
4
Résultat : L'aire de la région délimitée est de $\frac{26}{3}$ unités d'aire.

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Relation entre primitive et intégrale

Intégration par parties

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Oublier la constante d'intégration $+C$ lorsqu'on cherche une primitive.

Confondre aire sous la courbe et valeur de l'intégrale quand la fonction n'est pas positive.

Appliquer l'intégration par parties sans réfléchir à quel terme dériver et quel terme intégrer.

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Prérequis

Structure du cours

Introduction aux intégrales : l'aire sous la courbe

Propriétés fondamentales des intégrales

Calcul de primitives

L'intégrale définie et le théorème fondamental de l'analyse

Techniques de calcul d'intégrales

Applications des intégrales

Notions clés

Primitive

Intégrale définie

Théorème fondamental de l'analyse

Intégration par parties

Exemple résolu

Astuces & analogies

Relation entre primitive et intégrale

Intégration par parties

Erreurs fréquentes

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Prérequis

Structure du cours

Introduction aux intégrales : l'aire sous la courbe

Propriétés fondamentales des intégrales

Calcul de primitives

L'intégrale définie et le théorème fondamental de l'analyse

Techniques de calcul d'intégrales

Applications des intégrales

Notions clés

Primitive

Intégrale définie

Théorème fondamental de l'analyse

Intégration par parties

Exemple résolu

Astuces & analogies

Relation entre primitive et intégrale

Intégration par parties

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