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Intégrales : primitives et intégrale définie

3 notions clés12 flashcardsMis à jour le 9 juin 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Les intégrales permettent de calculer des aires sous des courbes. Elles sont intimement liées aux dérivées par le Théorème Fondamental de l'Analyse. Une primitive d'une fonction $f(x)$ est une fonction $F(x)$ dont la dérivée est $f(x)$ (noté $F'(x) = f(x)$ ). L'ensemble de toutes les primitives est $F(x) + C$ . L'intégrale définie $\int_a^b f(x) dx$ se calcule comme $F(b) - F(a)$ et représente une aire algébrique. Des techniques comme l'intégration par parties aident à résoudre des intégrales plus complexes.

Avant de commencer

Prérequis

Compréhension des fonctions et de leurs propriétés (continuité, dérivabilité).
Maîtrise de la dérivation des fonctions usuelles.
Notion d'aire géométrique.

Le plan

Structure du cours

1
Introduction aux Intégrales
La Notion d'Intégrale : Aire Sous une CourbeLien entre Dérivation et Intégration
- L'intégrale comme moyen de calculer l'aire délimitée par une courbe, l'axe des abscisses et deux bornes.
- Le Théorème Fondamental de l'Analyse qui relie les fonctions primitives et les intégrales définies.
2
Primitives d'une Fonction
Définition d'une PrimitiveEnsemble des Primitives
- Une fonction $F$ est une primitive de $f$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x$ dans un intervalle donné.
- Si $F$ est une primitive de $f$ , alors toutes les primitives de $f$ sont de la forme $F(x) + C$ , où $C$ est une constante réelle.
3
Intégrale Définie
Définition et NotationPropriétés de l'Intégrale DéfinieCalcul d'une Intégrale Définie
- Notation : $\int_a^b f(x) dx$
- Propriétés : linéarité, additivité par rapport à l'intervalle, comparaison.
- Calcul à l'aide d'une primitive : $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$
4
Techniques d'Intégration
Intégration par PartiesChangement de Variable
- Formule d'intégration par parties : $\int u'(x)v(x) dx = [u(x)v(x)] - \int u(x)v'(x) dx$
- La méthode du changement de variable permet de simplifier une intégrale en posant une nouvelle variable.

À retenir

Notions clés

Fonction Primitive

À mémoriser

Une fonction $F$ est une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$ .

Exemple

Si $f(x) = 2x$ , alors une primitive $F(x)$ est $x^2$ . Une autre primitive est $x^2 + 5$ .

Intégrale Définie

À mémoriser

Pour une fonction continue $f$ sur $[a, b]$ , l'intégrale définie de $f$ de $a$ à $b$ , notée $\int_a^b f(x) dx$ , est la différence entre les valeurs d'une primitive $F$ de $f$ évaluée aux bornes supérieure et inférieure : $F(b) - F(a)$ . Elle représente l'aire algébrique sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$ .

Exemple

L'intégrale de $f(x) = x$ de 0 à 2 est $\int_0^2 x dx = [\frac{x^2}{2}]_0^2 = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = 2$ .

Théorème Fondamental de l'Analyse

À mémoriser

Si $f$ est une fonction continue sur $[a, b]$ et $F$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$ , alors $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ .

Exemple

Pour calculer $\int_1^3 x^2 dx$ , on trouve une primitive de $x^2$ , qui est $\frac{x^3}{3}$ . Donc, $\int_1^3 x^2 dx = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$ .

En pratique

Exemple résolu

Calculer l'aire de la région délimitée par la courbe d'équation $y = x^2$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=3$ .

1
Étape 1 : Identifier la fonction $f(x)$ et les bornes d'intégration $a$ et $b$ . Ici, $f(x) = x^2$ , $a=1$ , $b=3$ .
2
Étape 2 : Trouver une primitive $F(x)$ de $f(x)$ . Une primitive de $x^2$ est $F(x) = \frac{x^3}{3}$ .
3
Étape 3 : Appliquer le Théorème Fondamental de l'Analyse pour calculer l'intégrale définie : $\int_1^3 x^2 dx = F(3) - F(1)$ .
4
Étape 4 : Calculer les valeurs : $F(3) = \frac{3^3}{3} = \frac{27}{3} = 9$ et $F(1) = \frac{1^3}{3} = \frac{1}{3}$ .
5
Résultat : L'aire recherchée est $\int_1^3 x^2 dx = 9 - \frac{1}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$ unités d'aire.

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Intégrale comme 'somme infinie'

Imagine que tu veux calculer la surface d'un lac. Tu peux le découper en une infinité de fines tranches verticales. L'intégrale additionne l'aire de toutes ces tranches (qui sont infiniment minces) pour te donner l'aire totale du lac.

Intégration par parties (Formule : $uv - \int u dv$)

Pense à une 'bagarre' entre deux fonctions. L'intégration par parties te donne une méthode pour transformer une intégrale 'difficile' en une autre intégrale (potentiellement plus simple) plus une 'correction' ( $uv$ ). C'est comme dire 'si je ne peux pas résoudre A directement, je vais essayer de le transformer en quelque chose de plus gérable B, en gardant une trace de ce que j'ai fait'.

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Oublier la constante d'intégration $C$ pour les primitives.

Lorsque l'on cherche une primitive (intégrale indéfinie), il existe une infinité de fonctions qui ont la même dérivée. Elles ne diffèrent que par une constante. Il faut donc toujours ajouter ' $+ C$ ' pour représenter l'ensemble des primitives. Pour une intégrale définie, cette constante s'annule, donc elle n'est pas nécessaire.

Confondre intégrale définie et indéfinie.

L'intégrale indéfinie (ou primitive) est une fonction (ex: $\int x dx = \frac{x^2}{2} + C$ ). L'intégrale définie est un nombre qui représente une aire (ex: $\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}$ ).

Erreurs dans le calcul de $F(b) - F(a)$ .

Il faut bien substituer la borne supérieure $b$ dans $F(x)$ ET la borne inférieure $a$ dans $F(x)$ , puis faire la soustraction $F(b) - F(a)$ . Ne pas oublier les signes moins, surtout si les bornes sont négatives.

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Maîtrise de la dérivation des fonctions usuelles.
Notion d'aire géométrique.

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1
Introduction aux Intégrales
La Notion d'Intégrale : Aire Sous une CourbeLien entre Dérivation et Intégration
- L'intégrale comme moyen de calculer l'aire délimitée par une courbe, l'axe des abscisses et deux bornes.
- Le Théorème Fondamental de l'Analyse qui relie les fonctions primitives et les intégrales définies.
2
Primitives d'une Fonction
Définition d'une PrimitiveEnsemble des Primitives
- Une fonction $F$ est une primitive de $f$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x$ dans un intervalle donné.
- Si $F$ est une primitive de $f$ , alors toutes les primitives de $f$ sont de la forme $F(x) + C$ , où $C$ est une constante réelle.
3
Intégrale Définie
Définition et NotationPropriétés de l'Intégrale DéfinieCalcul d'une Intégrale Définie
- Notation : $\int_a^b f(x) dx$
- Propriétés : linéarité, additivité par rapport à l'intervalle, comparaison.
- Calcul à l'aide d'une primitive : $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$
4
Techniques d'Intégration
Intégration par PartiesChangement de Variable
- Formule d'intégration par parties : $\int u'(x)v(x) dx = [u(x)v(x)] - \int u(x)v'(x) dx$
- La méthode du changement de variable permet de simplifier une intégrale en posant une nouvelle variable.

À retenir

Notions clés

Fonction Primitive

À mémoriser

Une fonction $F$ est une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$ .

Exemple

Si $f(x) = 2x$ , alors une primitive $F(x)$ est $x^2$ . Une autre primitive est $x^2 + 5$ .

Intégrale Définie

À mémoriser

Exemple

L'intégrale de $f(x) = x$ de 0 à 2 est $\int_0^2 x dx = [\frac{x^2}{2}]_0^2 = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = 2$ .

Théorème Fondamental de l'Analyse

À mémoriser

Si $f$ est une fonction continue sur $[a, b]$ et $F$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$ , alors $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ .

Exemple

Pour calculer $\int_1^3 x^2 dx$ , on trouve une primitive de $x^2$ , qui est $\frac{x^3}{3}$ . Donc, $\int_1^3 x^2 dx = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$ .

En pratique

Exemple résolu

Calculer l'aire de la région délimitée par la courbe d'équation $y = x^2$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=3$ .

1
Étape 1 : Identifier la fonction $f(x)$ et les bornes d'intégration $a$ et $b$ . Ici, $f(x) = x^2$ , $a=1$ , $b=3$ .
2
Étape 2 : Trouver une primitive $F(x)$ de $f(x)$ . Une primitive de $x^2$ est $F(x) = \frac{x^3}{3}$ .
3
Étape 3 : Appliquer le Théorème Fondamental de l'Analyse pour calculer l'intégrale définie : $\int_1^3 x^2 dx = F(3) - F(1)$ .
4
Étape 4 : Calculer les valeurs : $F(3) = \frac{3^3}{3} = \frac{27}{3} = 9$ et $F(1) = \frac{1^3}{3} = \frac{1}{3}$ .
5
Résultat : L'aire recherchée est $\int_1^3 x^2 dx = 9 - \frac{1}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$ unités d'aire.

Mémoriser plus vite

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Ne plus se tromper

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Oublier la constante d'intégration $C$ pour les primitives.

Confondre intégrale définie et indéfinie.

L'intégrale indéfinie (ou primitive) est une fonction (ex: $\int x dx = \frac{x^2}{2} + C$ ). L'intégrale définie est un nombre qui représente une aire (ex: $\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}$ ).

Erreurs dans le calcul de $F(b) - F(a)$ .

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Intégrale Définie

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Notions clés

Fonction Primitive

Intégrale Définie

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Intégrale Définie

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Notions clés

Fonction Primitive

Intégrale Définie

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