Théorème de Pythagore : formules et réciproque

Le chapitre sur Pythagore traite des triangles rectangles. Il introduit le théorème fondamental qui stipule que dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (cathètes). La formule clé est $a^2 + b^2 = c^2$ . Ce théorème permet de calculer une longueur manquante si deux autres sont connues. De plus, sa réciproque est essentielle : si cette relation est vérifiée pour un triangle quelconque, alors ce triangle est rectangle. C'est un outil puissant pour prouver la présence d'un angle droit ou pour déterminer des distances.

Notion de triangle et de ses côtés.

Notion d'angle droit.

Calcul de carrés de nombres.

Notion de racine carrée (facultatif, mais utile pour trouver une longueur à partir d'un carré).

Le théorème de Pythagore concerne les triangles rectangles.

Il établit une relation entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle.

La réciproque permet de démontrer qu'un triangle est rectangle.

Un triangle qui possède un angle droit (un angle de 90 degrés). Les deux côtés formant l'angle droit sont appelés les cathètes, et le côté opposé à l'angle droit est appelé l'hypoténuse.

Dans un triangle ABC, si l'angle en B est droit, alors AB et BC sont les cathètes et AC est l'hypoténuse.

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (les cathètes).

Si un triangle ABC est rectangle en A, alors $BC^2 = AB^2 + AC^2$ .

Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Si dans un triangle ABC, $AC^2 = AB^2 + BC^2$ , alors le triangle ABC est rectangle en B.

Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n'est pas rectangle.

Si dans un triangle ABC, $AC^2 \neq AB^2 + BC^2$ , alors le triangle ABC n'est pas rectangle.

Un jardinier souhaite vérifier si un coin de son potager est bien d'équerre (forme un angle droit). Il mesure 3 mètres le long d'un côté et 4 mètres le long de l'autre côté partant du même coin. Il mesure ensuite la distance entre les deux extrémités ainsi marquées, qui est de 5 mètres.

Identifier le plus grand côté. Ici, il mesure 5 mètres.

Calculer le carré de la longueur du plus grand côté : $5^2 = 25$ .

Calculer la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés : $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ .

Comparer les deux résultats. Comme $5^2 = 3^2 + 4^2$ , le coin du potager est bien d'équerre, grâce à la réciproque du théorème de Pythagore.

Imaginez que vous construisez des carrés sur chaque côté d'un triangle rectangle. L'aire du grand carré construit sur l'hypoténuse (le côté le plus long) est exactement égale à la somme des aires des deux carrés construits sur les deux autres côtés (les cathètes).

L'hypoténuse est le côté 'en face' de l'angle droit, comme une 'rose' (hypothénuse) qui se dresse face à un 'plat' (l'angle droit).

Appliquer le théorème à des triangles qui ne sont pas rectangles.

Le théorème de Pythagore n'est valable que pour les triangles rectangles. Si le triangle n'est pas rectangle, la relation $a^2 + b^2 = c^2$ ne tient pas. Pour prouver qu'un triangle est rectangle, on utilise la réciproque.

Confondre l'hypoténuse et une cathète lors de l'application du théorème.

L'hypoténuse (notée $c$ dans $a^2 + b^2 = c^2$ ) est toujours le côté le plus long du triangle rectangle et celui qui est opposé à l'angle droit. Les cathètes (notées $a$ et $b$ ) sont les deux autres côtés. Une erreur fréquente est de mettre une cathète au carré du côté gauche de l'équation, ou d'oublier que l'hypoténuse est isolée.

Oublier de prendre la racine carrée à la fin pour trouver une longueur.

Le théorème donne la relation entre les carrés des longueurs. Si vous cherchez une longueur (par exemple, l'hypoténuse $c$ ), et que vous avez calculé $c^2$ , n'oubliez pas d'en prendre la racine carrée pour trouver $c$ . Par exemple, si $c^2 = 25$ , alors $c = \sqrt{25} = 5$ , et non 25.

Qu'est-ce qu'un triangle rectangle ?

Comment appelle-t-on les côtés qui forment l'angle droit dans un triangle rectangle ?

Comment appelle-t-on le côté opposé à l'angle droit dans un triangle rectangle ?

Quel est l'énoncé du théorème de Pythagore ?

Comment s'écrit la formule du théorème de Pythagore ?

Quand utilise-t-on la réciproque du théorème de Pythagore ?

Quel est l'énoncé de la réciproque du théorème de Pythagore ?

Exemple d'application : Si un triangle a des côtés de longueurs 6, 8 et 10, est-il rectangle ?

Si on connaît une cathète et l'hypoténuse, comment trouve-t-on l'autre cathète ?

Comment appelle-t-on les triplets de nombres entiers qui vérifient $a^2 + b^2 = c^2$ ?

Comprendre le cours

Prérequis

Structure du cours

Le Théorème de Pythagore

Notions clés

Triangle rectangle

Théorème de Pythagore

Réciproque du Théorème de Pythagore

Contraposée du Théorème de Pythagore

Exemple résolu

Astuces & analogies

Le Théorème de Pythagore ($$a^2 + b^2 = c^2$$)

Identifier les cathètes et l'hypoténuse

Erreurs fréquentes

Flashcards