Théorème de Pythagore : formules et réciproque
Le résumé
Comprendre le cours
Le chapitre sur Pythagore traite des triangles rectangles. Il introduit le théorème fondamental qui stipule que dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (cathètes). La formule clé est . Ce théorème permet de calculer une longueur manquante si deux autres sont connues. De plus, sa réciproque est essentielle : si cette relation est vérifiée pour un triangle quelconque, alors ce triangle est rectangle. C'est un outil puissant pour prouver la présence d'un angle droit ou pour déterminer des distances.
Avant de commencer
Prérequis
Notion de triangle et de ses côtés.
Notion d'angle droit.
Calcul de carrés de nombres.
Notion de racine carrée (facultatif, mais utile pour trouver une longueur à partir d'un carré).
Le plan
Structure du cours
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Le Théorème de Pythagore
Introduction et énoncéLe théorème dans le sens directLe théorème dans le sens réciproqueApplications et exemplesLe théorème de Pythagore concerne les triangles rectangles.
Il établit une relation entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle.
La réciproque permet de démontrer qu'un triangle est rectangle.
À retenir
Notions clés
Triangle rectangle
À mémoriserUn triangle qui possède un angle droit (un angle de 90 degrés). Les deux côtés formant l'angle droit sont appelés les cathètes, et le côté opposé à l'angle droit est appelé l'hypoténuse.
Dans un triangle ABC, si l'angle en B est droit, alors AB et BC sont les cathètes et AC est l'hypoténuse.
Théorème de Pythagore
À mémoriserDans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (les cathètes).
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors .
Réciproque du Théorème de Pythagore
À mémoriserSi dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
Si dans un triangle ABC, , alors le triangle ABC est rectangle en B.
Contraposée du Théorème de Pythagore
Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n'est pas rectangle.
Si dans un triangle ABC, , alors le triangle ABC n'est pas rectangle.
En pratique
Exemple résolu
Un jardinier souhaite vérifier si un coin de son potager est bien d'équerre (forme un angle droit). Il mesure 3 mètres le long d'un côté et 4 mètres le long de l'autre côté partant du même coin. Il mesure ensuite la distance entre les deux extrémités ainsi marquées, qui est de 5 mètres.
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Identifier le plus grand côté. Ici, il mesure 5 mètres.
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Calculer le carré de la longueur du plus grand côté : .
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Calculer la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés : .
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Comparer les deux résultats. Comme , le coin du potager est bien d'équerre, grâce à la réciproque du théorème de Pythagore.
Mémoriser plus vite
Astuces & analogies
Le Théorème de Pythagore ($$a^2 + b^2 = c^2$$)
Imaginez que vous construisez des carrés sur chaque côté d'un triangle rectangle. L'aire du grand carré construit sur l'hypoténuse (le côté le plus long) est exactement égale à la somme des aires des deux carrés construits sur les deux autres côtés (les cathètes).
Identifier les cathètes et l'hypoténuse
L'hypoténuse est le côté 'en face' de l'angle droit, comme une 'rose' (hypothénuse) qui se dresse face à un 'plat' (l'angle droit).
Ne plus se tromper
Erreurs fréquentes
Appliquer le théorème à des triangles qui ne sont pas rectangles.
Le théorème de Pythagore n'est valable que pour les triangles rectangles. Si le triangle n'est pas rectangle, la relation ne tient pas. Pour prouver qu'un triangle est rectangle, on utilise la réciproque.
Confondre l'hypoténuse et une cathète lors de l'application du théorème.
L'hypoténuse (notée dans ) est toujours le côté le plus long du triangle rectangle et celui qui est opposé à l'angle droit. Les cathètes (notées et ) sont les deux autres côtés. Une erreur fréquente est de mettre une cathète au carré du côté gauche de l'équation, ou d'oublier que l'hypoténuse est isolée.
Oublier de prendre la racine carrée à la fin pour trouver une longueur.
Le théorème donne la relation entre les carrés des longueurs. Si vous cherchez une longueur (par exemple, l'hypoténuse ), et que vous avez calculé , n'oubliez pas d'en prendre la racine carrée pour trouver . Par exemple, si , alors , et non 25.
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