Suite numeriqueTerminale

Suites numériques : définitions et convergence

7 notions clés12 flashcardsMis à jour le 28 mai 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Les suites numériques associent un nombre réel à chaque entier. Elles peuvent être définies explicitement ( $u_n = f(n)$ ) ou par récurrence ( $u_{n+1} = f(u_n)$ ). Les suites arithmétiques avancent par addition constante ( $u_{n+1} = u_n + r$ ), les géométriques par multiplication constante ( $u_{n+1} = u_n \times q$ ). On étudie leur comportement à l'infini via la notion de limite. Une suite est convergente si sa limite est finie, divergente sinon. Les suites monotones (croissantes ou décroissantes) et bornées sont toujours convergentes (Théorème fondamental). Les théorèmes de comparaison et des gendarmes sont des outils clés pour déterminer les limites, particulièrement utiles pour les suites géométriques dont la convergence dépend de la raison $q$ .

Avant de commencer

Prérequis

Manipulation des ensembles de nombres (entiers naturels, réels).
Compréhension des fonctions.
Notions de base sur les inégalités.
Repérage de points dans un plan.

Le plan

Structure du cours

1
Introduction aux Suites Numériques
Définition d'une suite numériqueModes de génération d'une suiteReprésentation graphique d'une suite
- Une suite numérique est une fonction dont l'ensemble de définition est l'ensemble des entiers naturels (ou un sous-ensemble de celui-ci commençant à un entier fixé).
- Les suites peuvent être définies par une formule explicite, une relation de récurrence, ou par une propriété.
2
Suites Arithmétiques et Géométriques
Suites arithmétiques : définition et propriétésSuites géométriques : définition et propriétésSommes de termes de suites arithmétiques et géométriques
- Une suite arithmétique a une raison constante ajoutée à chaque terme.
- Une suite géométrique a une raison constante multipliée à chaque terme.
- Il existe des formules pour calculer la somme des premiers termes de ces suites.
3
Limites de Suites
Notion de limite finie et infiniePropriétés des limites (opérations, comparaison)Théorèmes de comparaison et des gendarmes
- Comprendre si une suite 'tend vers' une valeur particulière ou 'explose' vers l'infini.
- Les opérations sur les limites permettent d'étudier la limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient de suites.
- Les théorèmes de comparaison sont des outils puissants pour déterminer la limite d'une suite.
4
Convergence de Suites
Définition d'une suite convergenteSuites monotones et bornéesCas des suites géométriques
- Une suite convergente est une suite qui a une limite finie.
- Une suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) est toujours convergente.
- La convergence d'une suite géométrique dépend de sa raison.

À retenir

Notions clés

Suite Numérique

À mémoriser

Une suite numérique $(u_n)$ est une fonction qui associe à chaque entier naturel $n$ (ou un entier $n \ge n_0$ ), un nombre réel $u_n$ . On note $(u_n)_{n \ge n_0}$ ou $(u_n)$ la suite.

Exemple

La suite $(u_n)$ définie par $u_n = 2n + 1$ pour $n \ge 0$ donne les termes : $u_0=1, u_1=3, u_2=5, \dots$ .

Suite Arithmétique

À mémoriser

Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ (la raison) tel que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = u_n + r$ . Le terme général est $u_n = u_0 + nr$ .

Exemple

La suite $(u_n)$ avec $u_0=5$ et $r=3$ est : $5, 8, 11, 14, \dots$ . Son terme général est $u_n = 5 + 3n$ .

Suite Géométrique

À mémoriser

Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ (la raison) tel que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = u_n imes q$ . Le terme général est $u_n = u_0 imes q^n$ .

Exemple

La suite $(u_n)$ avec $u_0=2$ et $q=3$ est : $2, 6, 18, 54, \dots$ . Son terme général est $u_n = 2 imes 3^n$ .

Limite d'une Suite

À mémoriser

On dit qu'une suite $(u_n)$ a pour limite $L$ (fini) si tout intervalle ouvert contenant $L$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Exemple

La suite $(u_n) = \frac{1}{n}$ pour $n \ge 1$ a pour limite $0$ . Pour tout $\epsilon > 0$ , il existe un rang $N$ tel que pour $n \ge N$ , $|u_n - 0| < \epsilon$ .

Suite Convergente

À mémoriser

Une suite $(u_n)$ est convergente si elle admet une limite finie $L$ .

Exemple

La suite $(u_n) = \frac{1}{n}$ est convergente car sa limite est $0$ .

Suite Divergente

À mémoriser

Une suite $(u_n)$ est divergente si elle n'admet pas de limite finie. Elle peut tendre vers $+\infty$ , $-\infty$ , ou ne pas avoir de limite du tout.

Exemple

La suite $(u_n) = n$ est divergente car elle tend vers $+\infty$ . La suite $(u_n) = (-1)^n$ est aussi divergente car elle oscille entre -1 et 1.

Suite Monotone

À mémoriser

Une suite $(u_n)$ est monotone si elle est soit toujours croissante, soit toujours décroissante. Une suite croissante vérifie $u_{n+1} \ge u_n$ pour tout $n$ , et une suite décroissante vérifie $u_{n+1} \le u_n$ pour tout $n$ .

Exemple

La suite $(u_n) = 2n+1$ est croissante. La suite $(u_n) = \frac{1}{n}$ pour $n \ge 1$ est décroissante.

En pratique

Exemple résolu

On souhaite étudier la rentabilité d'un placement financier sur plusieurs années. Un capital initial de 1000 € est placé à un taux d'intérêt annuel de 5%. Chaque année, les intérêts sont ajoutés au capital. On veut connaître le capital disponible après 10 ans.

1
Identifier le type de suite : Puisque les intérêts sont calculés sur le capital de l'année précédente et ajoutés, il s'agit d'une suite géométrique. Le capital de l'année $n$ est le capital de l'année $n-1$ plus 5% de ce capital, donc $C_n = C_{n-1} + 0.05 C_{n-1} = 1.05 C_{n-1}$ .
2
Déterminer la raison et le premier terme : Le capital initial est $C_0 = 1000$ €. La raison $q$ est $1.05$ . La suite des capitaux est $(C_n)$ .
3
Calculer le terme général : La formule du terme général est $C_n = C_0 imes q^n = 1000 imes (1.05)^n$ .
4
Calculer le capital après 10 ans : On cherche $C_{10} = 1000 imes (1.05)^{10}$ . En utilisant une calculatrice, $(1.05)^{10} \approx 1.62889$ .
5
Résultat : Le capital après 10 ans sera d'environ $1000 imes 1.62889 \approx 1628.89$ €.

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Suite Arithmétique vs. Géométrique

Pensez à une échelle : pour une suite arithmétique, vous montez marche par marche (addition constante). Pour une suite géométrique, pensez à une boule de neige qui grossit en roulant : elle devient de plus en plus grosse à chaque 'tour' (multiplication constante).

Limite d'une suite qui tend vers l'infini

Imaginez que vous marchez sans arrêt dans une direction. Votre distance par rapport au point de départ augmente sans cesse. C'est comme une suite qui tend vers $+\infty$ : elle 's'éloigne' de toute valeur fixe.

Théorème des gendarmes

Imaginez que vous êtes une personne (la suite $(u_n)$ ) coincée entre deux amis (les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ qui ont la même destination). Si vos deux amis arrivent à la même destination (leur limite est la même), alors vous aussi, vous devez arriver à cette destination.

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre la raison d'une suite arithmétique et d'une suite géométrique.

La raison d'une suite arithmétique est ADDITIVE ( $u_{n+1} = u_n + r$ ), tandis que la raison d'une suite géométrique est MULTIPLICATIVE ( $u_{n+1} = u_n imes q$ ). Attention aux confusions lors de la rédaction de la formule ou du calcul.

Penser qu'une suite bornée est forcément convergente.

Une suite bornée n'est pas forcément convergente. Par exemple, la suite $(u_n) = (-1)^n$ est bornée (entre -1 et 1) mais elle diverge car elle oscille et n'a pas de limite unique. Il faut en plus qu'elle soit monotone (ou qu'on puisse prouver sa convergence par d'autres moyens comme le théorème des gendarmes).

Erreur dans le calcul des sommes de suites arithmétiques ou géométriques.

Les formules de somme sont spécifiques à chaque type de suite et au nombre de termes. Pour une suite arithmétique $S_n = \sum_{k=0}^{n-1} u_k = n imes \frac{u_0 + u_{n-1}}{2}$ . Pour une suite géométrique $S_n = \sum_{k=0}^{n-1} u_k = u_0 imes \frac{1 - q^n}{1 - q}$ (si $q e 1$ ).

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Flashcards

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Suite numeriqueTerminale

Suites numériques : définitions et convergence

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Le résumé

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Avant de commencer

Prérequis

Manipulation des ensembles de nombres (entiers naturels, réels).
Compréhension des fonctions.
Notions de base sur les inégalités.
Repérage de points dans un plan.

Le plan

Structure du cours

1
Introduction aux Suites Numériques
Définition d'une suite numériqueModes de génération d'une suiteReprésentation graphique d'une suite
- Une suite numérique est une fonction dont l'ensemble de définition est l'ensemble des entiers naturels (ou un sous-ensemble de celui-ci commençant à un entier fixé).
- Les suites peuvent être définies par une formule explicite, une relation de récurrence, ou par une propriété.
2
Suites Arithmétiques et Géométriques
Suites arithmétiques : définition et propriétésSuites géométriques : définition et propriétésSommes de termes de suites arithmétiques et géométriques
- Une suite arithmétique a une raison constante ajoutée à chaque terme.
- Une suite géométrique a une raison constante multipliée à chaque terme.
- Il existe des formules pour calculer la somme des premiers termes de ces suites.
3
Limites de Suites
Notion de limite finie et infiniePropriétés des limites (opérations, comparaison)Théorèmes de comparaison et des gendarmes
- Comprendre si une suite 'tend vers' une valeur particulière ou 'explose' vers l'infini.
- Les opérations sur les limites permettent d'étudier la limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient de suites.
- Les théorèmes de comparaison sont des outils puissants pour déterminer la limite d'une suite.
4
Convergence de Suites
Définition d'une suite convergenteSuites monotones et bornéesCas des suites géométriques
- Une suite convergente est une suite qui a une limite finie.
- Une suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) est toujours convergente.
- La convergence d'une suite géométrique dépend de sa raison.

À retenir

Notions clés

Suite Numérique

À mémoriser

Une suite numérique $(u_n)$ est une fonction qui associe à chaque entier naturel $n$ (ou un entier $n \ge n_0$ ), un nombre réel $u_n$ . On note $(u_n)_{n \ge n_0}$ ou $(u_n)$ la suite.

Exemple

La suite $(u_n)$ définie par $u_n = 2n + 1$ pour $n \ge 0$ donne les termes : $u_0=1, u_1=3, u_2=5, \dots$ .

Suite Arithmétique

À mémoriser

Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ (la raison) tel que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = u_n + r$ . Le terme général est $u_n = u_0 + nr$ .

Exemple

La suite $(u_n)$ avec $u_0=5$ et $r=3$ est : $5, 8, 11, 14, \dots$ . Son terme général est $u_n = 5 + 3n$ .

Suite Géométrique

À mémoriser

Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ (la raison) tel que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = u_n imes q$ . Le terme général est $u_n = u_0 imes q^n$ .

Exemple

La suite $(u_n)$ avec $u_0=2$ et $q=3$ est : $2, 6, 18, 54, \dots$ . Son terme général est $u_n = 2 imes 3^n$ .

Limite d'une Suite

À mémoriser

On dit qu'une suite $(u_n)$ a pour limite $L$ (fini) si tout intervalle ouvert contenant $L$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Exemple

La suite $(u_n) = \frac{1}{n}$ pour $n \ge 1$ a pour limite $0$ . Pour tout $\epsilon > 0$ , il existe un rang $N$ tel que pour $n \ge N$ , $|u_n - 0| < \epsilon$ .

Suite Convergente

À mémoriser

Une suite $(u_n)$ est convergente si elle admet une limite finie $L$ .

Exemple

La suite $(u_n) = \frac{1}{n}$ est convergente car sa limite est $0$ .

Suite Divergente

À mémoriser

Une suite $(u_n)$ est divergente si elle n'admet pas de limite finie. Elle peut tendre vers $+\infty$ , $-\infty$ , ou ne pas avoir de limite du tout.

Exemple

La suite $(u_n) = n$ est divergente car elle tend vers $+\infty$ . La suite $(u_n) = (-1)^n$ est aussi divergente car elle oscille entre -1 et 1.

Suite Monotone

À mémoriser

Exemple

La suite $(u_n) = 2n+1$ est croissante. La suite $(u_n) = \frac{1}{n}$ pour $n \ge 1$ est décroissante.

En pratique

Exemple résolu

1
Identifier le type de suite : Puisque les intérêts sont calculés sur le capital de l'année précédente et ajoutés, il s'agit d'une suite géométrique. Le capital de l'année $n$ est le capital de l'année $n-1$ plus 5% de ce capital, donc $C_n = C_{n-1} + 0.05 C_{n-1} = 1.05 C_{n-1}$ .
2
Déterminer la raison et le premier terme : Le capital initial est $C_0 = 1000$ €. La raison $q$ est $1.05$ . La suite des capitaux est $(C_n)$ .
3
Calculer le terme général : La formule du terme général est $C_n = C_0 imes q^n = 1000 imes (1.05)^n$ .
4
Calculer le capital après 10 ans : On cherche $C_{10} = 1000 imes (1.05)^{10}$ . En utilisant une calculatrice, $(1.05)^{10} \approx 1.62889$ .
5
Résultat : Le capital après 10 ans sera d'environ $1000 imes 1.62889 \approx 1628.89$ €.

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Limite d'une suite qui tend vers l'infini

Théorème des gendarmes

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre la raison d'une suite arithmétique et d'une suite géométrique.

Penser qu'une suite bornée est forcément convergente.

Erreur dans le calcul des sommes de suites arithmétiques ou géométriques.

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Suites Arithmétiques et Géométriques

Limites de Suites

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Suite Numérique

Suite Arithmétique

Suite Géométrique

Limite d'une Suite

Suite Convergente

Suite Divergente

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Exemple résolu

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Suite Arithmétique vs. Géométrique

Limite d'une suite qui tend vers l'infini

Théorème des gendarmes

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Structure du cours

Introduction aux Suites Numériques

Suites Arithmétiques et Géométriques

Limites de Suites

Convergence de Suites

Notions clés

Suite Numérique

Suite Arithmétique

Suite Géométrique

Limite d'une Suite

Suite Convergente

Suite Divergente

Suite Monotone

Exemple résolu

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Suite Arithmétique vs. Géométrique

Limite d'une suite qui tend vers l'infini

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