Dérivée : Taux d'accroissement et variations
Le résumé
Comprendre le cours
Le chapitre sur la dérivation explore comment analyser les variations d'une fonction. On commence par le taux d'accroissement, qui mesure la variation moyenne. La dérivée, limite de ce taux, donne la variation instantanée et la pente de la tangente. Maîtriser les formules de dérivation des fonctions usuelles (, , ) et les règles de calcul (somme, produit, quotient) est essentiel. Le signe de la dérivée dicte le sens de variation de la fonction : positive pour croissante, négative pour décroissante. Un tableau de variations synthétise ces informations, indiquant les extremums. La dérivation permet ainsi de décrire précisément le comportement d'une fonction.
Avant de commencer
Prérequis
Notions sur les fonctions : domaine de définition, image, représentation graphique.
Compréhension des limites et de la notion d'approximation.
Notions sur les droites : équation, pente.
Calcul algébrique : manipulations d'expressions, factorisation, développement.
Le plan
Structure du cours
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La Dérivation : Outil d'Analyse des Variations
Fonction et Taux d'AccroissementLa Dérivée : Tangente et Variation InstantanéeDérivées des Fonctions Usuelles et OpérationsApplication : Étude de Signe de la Dérivée et Tableau de VariationsIntroduction à la ConvexitéComprendre la notion de taux d'accroissement comme pente d'une sécante.
Définir la dérivée comme limite du taux d'accroissement, représentant la pente de la tangente.
Maîtriser les formules de dérivation des fonctions usuelles et les règles de dérivation des sommes, produits, quotients et fonctions composées.
Utiliser le signe de la dérivée pour déterminer les variations d'une fonction.
Introduire la notion de convexité et de concavité à l'aide de la dérivée seconde.
À retenir
Notions clés
Taux d'accroissement
À mémoriserPour une fonction et deux réels et distincts, le taux d'accroissement de entre et est le quotient . Il représente la pente de la droite passant par les points et .
Pour , le taux d'accroissement entre et est .
Dérivée d'une fonction
À mémoriserSi la limite du taux d'accroissement lorsque tend vers existe et est finie, cette limite est appelée la dérivée de en , notée . Elle représente la pente de la tangente à la courbe de au point d'abscisse .
Pour , la dérivée en est . La tangente à la parabole au point d'abscisse 2 a une pente de 4.
Fonction dérivée
À mémoriserUne fonction est dérivable sur un intervalle si elle est dérivable en tout point de . La fonction qui à chaque associe est appelée la fonction dérivée de sur , notée .
La fonction est dérivable sur et sa fonction dérivée est .
Tableau de variations
À mémoriserTableau qui résume les variations d'une fonction (croissance et décroissance) et les valeurs de ses extremums locaux, basé sur le signe de sa fonction dérivée.
Pour , . pour et pour . Le tableau de variations montre que décroît sur et croît sur , avec un minimum en .
En pratique
Exemple résolu
Étudier les variations de la fonction sur l'intervalle .
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Étape 1 : Calculer la fonction dérivée. .
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Étape 2 : Étudier le signe de la fonction dérivée. ou . Le trinôme est du signe de à l'extérieur de ses racines. Donc pour et pour .
- 3
Étape 3 : Dresser le tableau de variations. Les valeurs de aux points critiques sont et .
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Résultat : La fonction est croissante sur , décroissante sur et croissante sur . Elle admet un maximum local de 3 en et un minimum local de -1 en .
Mémoriser plus vite
Astuces & analogies
La dérivée comme vitesse instantanée
Imagine une voiture. La distance parcourue est une fonction du temps. La dérivée de cette fonction à un instant correspond à la vitesse exacte de la voiture à cet instant précis, pas la vitesse moyenne sur un trajet. C'est le compteur de vitesse !
Formule de dérivation $u'v + uv'$
Pour dériver un produit , pense à une 'coopération' entre les deux fonctions : la dérivée de se 'marie' avec entier (), puis entier se 'marie' avec la dérivée de (). Le signe '+' est là pour montrer qu'elles travaillent ensemble !
Ne plus se tromper
Erreurs fréquentes
Confondre la fonction dérivée avec la fonction elle-même .
Il est crucial de distinguer (la valeur de la fonction en ) de (la pente de la tangente à la courbe de en ). Le tableau de variations utilise le signe de pour déterminer si augmente ou diminue.
Ne pas tenir compte du signe de dans le signe du trinôme lors de l'étude du signe de la dérivée.
Le signe de la parabole est le signe de à l'extérieur des racines et le signe opposé entre les racines. C'est essentiel pour déterminer correctement les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction initiale.
Oublier les règles de dérivation des sommes, produits et quotients.
La dérivée d'une somme est la somme des dérivées : . La dérivée d'un produit est . La dérivée d'un quotient est . Ces formules sont fondamentales et doivent être maîtrisées.
Se tester
Flashcards
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