Primitives et intégrale définie : calcul et applications

Pour une intégrale indéfinie (l'ensemble des primitives), il faut toujours ajouter $+C$ car la dérivée d'une constante est zéro. Exemple : les primitives de $2x$ sont $x^2 + C$. Cependant, pour une intégrale définie $\int_{a}^{b} f(x) dx$, la constante $C$ s'annule toujours car on calcule $[F(b)+C] - [F(a)+C] = F(b) - F(a)$, donc elle n'est pas nécessaire.

L'intégration par parties est utile quand on a un produit de fonctions (règle : $\int u dv = uv - \int v du$). Le changement de variable est utile quand on a une fonction composée et que l'on voit la dérivée de la fonction 'intérieure' apparaître (règle : si $u = g(x)$, alors $du = g'(x) dx$). Il faut choisir la bonne technique en fonction de la forme de l'intégrale.

L'intégrale définie $\int_{a}^{b} f(x) dx$ donne l'aire algébrique. Pour calculer une aire géométrique (qui doit être positive), il faut considérer la valeur absolue de la fonction ou intégrer séparément sur les intervalles où la fonction est positive et négative, puis additionner les valeurs absolues des aires obtenues. Par exemple, l'aire géométrique entre $y=x$ et l'axe des abscisses de $x=-1$ à $x=1$ est $\int_{-1}^{0} (-x) dx + \int_{0}^{1} x dx$, pas $\int_{-1}^{1} x dx = 0$.