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Composition et dérivation de fonctions

4 notions clés16 flashcardsMis à jour le 14 juin 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Ce chapitre explore la composition de fonctions, où l'on applique une fonction au résultat d'une autre ( $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ ). Il révise ensuite la dérivation, l'étude du taux de variation instantané et de la pente de la tangente. La formule clé est la règle de dérivation en chaîne : $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ . Cette règle est essentielle pour dériver des fonctions complexes construites par composition. Le chapitre aborde aussi les règles de dérivation usuelles (somme, produit, quotient) et les applications de la dérivation, comme l'étude des variations et la recherche d'extrema de fonctions, utiles dans des problèmes d'optimisation.

Avant de commencer

Prérequis

Maîtrise des fonctions de base (affines, carrées, inverses, etc.).
Notion de limite d'une fonction.
Définition et calcul de dérivées des fonctions usuelles (polynômes, exponentielle, etc.).
Notion de taux d'accroissement.

Le plan

Structure du cours

1
Introduction à la Composition de Fonctions
Définition et NotationExemples Simples
- Comprendre comment une fonction peut être le résultat d'une autre fonction appliquée.
- Savoir noter et calculer une composition de fonctions.
2
Propriétés de la Composition de Fonctions
AssociativitéNon-commutativitéComposition avec la fonction identité
- La composition est associative : $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$ .
- La composition n'est généralement pas commutative : $f \circ g eq g \circ f$ .
- La composition avec la fonction identité $\text{id}(x) = x$ ne change pas la fonction.
3
Introduction à la Dérivation
Définition de la DérivéeInterprétation Géométrique : TangenteFonction Dérivée
- La dérivée mesure le taux de variation instantané d'une fonction.
- La dérivée en un point est la pente de la tangente à la courbe en ce point.
- La fonction dérivée associe à chaque point la dérivée de la fonction en ce point.
4
Règles de Dérivation Usuelles
Dérivées des fonctions usuellesOpérations sur les fonctions dérivables (somme, produit, quotient)
- Connaître les dérivées des fonctions polynômes, exponentielles, logarithmiques, trigonométriques.
- Appliquer les règles de dérivation pour les combinaisons de fonctions.
5
Théorème de la Dérivée d'une Composition
Formule de la Dérivée d'une CompositionApplication et exemples
- La formule clé pour dériver une composition : $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ .
- Savoir appliquer cette formule pour dériver des fonctions composées complexes.
6
Applications de la Dérivation
Étude de fonctions (variations, extrema)Optimisation
- Utiliser la dérivée pour étudier le sens de variation et trouver les extrema d'une fonction.
- Appliquer ces outils à des problèmes pratiques d'optimisation.

À retenir

Notions clés

Composition de Fonctions ($$f \circ g$$)

À mémoriser

La composition de deux fonctions $f$ et $g$ , notée $f \circ g$ , est une fonction qui, pour une entrée $x$ , applique d'abord $g$ à $x$ , puis applique $f$ au résultat $g(x)$ . Mathématiquement, $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ .

Exemple

Si $f(x) = x^2$ et $g(x) = x+1$ , alors $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)^2$ .

Dérivée d'une Fonction ($$f'(x)$$, $$ \frac{df}{dx} $$)

À mémoriser

La dérivée d'une fonction $f$ en un point $x$ est la limite du taux d'accroissement de $f$ lorsque l'accroissement tend vers zéro. Elle représente la pente de la droite tangente à la courbe de $f$ au point $x$ .

Exemple

La dérivée de $f(x) = x^2$ est $f'(x) = 2x$ . Au point $x=3$ , la dérivée est $f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$ , ce qui signifie que la tangente à la parabole au point $(3, 9)$ a une pente de 6.

Règle de Dérivation en Chaîne

À mémoriser

Pour des fonctions $f$ et $g$ dérivables, la dérivée de leur composition $f \circ g$ est donnée par $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ . Elle stipule qu'on dérive la fonction 'extérieure' évaluée à la fonction 'intérieure', puis qu'on multiplie par la dérivée de la fonction 'intérieure'.

Exemple

Pour dériver $h(x) = \sin(x^2)$ , on identifie $f(u) = \sin(u)$ et $g(x) = x^2$ . Alors $f'(u) = \cos(u)$ et $g'(x) = 2x$ . La dérivée est $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$ .

Fonction Identité ($$\text{id}$$)

La fonction identité est une fonction $\text{id}(x) = x$ . Elle ne modifie pas son argument. Pour toute fonction $f$ , $f \circ \text{id} = f$ et $\text{id} \circ f = f$ .

Exemple

Si $f(x) = 3x+2$ , alors $(f \\circ \\text{id})(x) = f(\text{id}(x)) = f(x) = 3x+2$ .

En pratique

Exemple résolu

On souhaite calculer la vitesse d'une particule dont la position est donnée par une fonction composée. Soit la position $s(t)$ d'une particule à l'instant $t$ donnée par $s(t) = f(g(t))$ , où $f(u) = e^u$ et $g(t) = \cos(t)$ . On veut trouver la vitesse de la particule à l'instant $t$ .

1
Étape 1 : Identifier les fonctions $f$ et $g$ . Ici, $f(u) = e^u$ (fonction extérieure) et $g(t) = \cos(t)$ (fonction intérieure).
2
Étape 2 : Calculer les dérivées de $f$ et $g$ . La dérivée de $f(u) = e^u$ est $f'(u) = e^u$ . La dérivée de $g(t) = \cos(t)$ est $g'(t) = -\sin(t)$ .
3
Étape 3 : Appliquer la règle de dérivation en chaîne $(f \circ g)'(t) = f'(g(t)) \cdot g'(t)$ . On substitue $g(t)$ dans $f'(u)$ pour obtenir $f'(g(t)) = e^{\cos(t)}$ . Ensuite, on multiplie par $g'(t)$ .
4
Résultat : La vitesse de la particule est $s'(t) = e^{\cos(t)} \cdot (-\sin(t)) = -\sin(t) e^{\cos(t)}$ .

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Règle de Dérivation en Chaîne

Pensez à une poupée russe. Pour dériver la fonction composée (la poupée la plus grande), vous 'ouvrez' la poupée extérieure (en la dérivant en gardant la poupée intérieure intacte) PUIS vous 'ouvrez' la poupée intérieure (en la dérivant). Le 'PUIS' correspond à la multiplication.

Composition de Fonctions

C'est comme passer un appel téléphonique international. D'abord, vous composez le préfixe international (première fonction), puis, une fois la connexion établie, vous composez le numéro local (deuxième fonction).

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Oublier de multiplier par la dérivée de la fonction intérieure lors de l'application de la règle de dérivation en chaîne.

Il faut toujours se rappeler que la dérivée d'une composition $(f \circ g)'(x)$ est le produit de deux termes : la dérivée de la fonction extérieure évaluée en la fonction intérieure ( $f'(g(x))$ ) ET la dérivée de la fonction intérieure ( $g'(x)$ ). Ne pas omettre le second terme est crucial. Par exemple, pour $\sin(x^2)$ , la dérivée n'est pas juste $\cos(x^2)$ , mais $\cos(x^2) \cdot 2x$ .

Confondre la composition $f \circ g$ avec le produit $f \cdot g$ ou la somme $f + g$ .

La composition $f \circ g$ signifie appliquer $f$ au résultat de $g(x)$ , soit $f(g(x))$ . Le produit $f \cdot g$ signifie multiplier les valeurs des deux fonctions, soit $f(x) \cdot g(x)$ . Ce sont deux opérations distinctes avec des règles de dérivation différentes. Par exemple, la dérivée de $\sin(x) \cdot x^2$ est $\cos(x) \cdot x^2 + \sin(x) \cdot 2x$ (règle du produit), tandis que la dérivée de $\sin(x^2)$ est $\cos(x^2) \cdot 2x$ (règle de la chaîne).

Penser que la composition de fonctions est commutative, c'est-à-dire que $f \circ g = g \circ f$ .

La composition n'est généralement PAS commutative. L'ordre dans lequel les fonctions sont appliquées est important. Par exemple, si $f(x) = x+1$ et $g(x) = x^2$ , alors $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = x^2+1$ . Mais $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x+1) = (x+1)^2 = x^2+2x+1$ . Comme $x^2+1 \neq x^2+2x+1$ , on a bien $f \circ g \neq g \circ f$ .

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Maîtrise des fonctions de base (affines, carrées, inverses, etc.).
Notion de limite d'une fonction.
Définition et calcul de dérivées des fonctions usuelles (polynômes, exponentielle, etc.).
Notion de taux d'accroissement.

Le plan

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1
Introduction à la Composition de Fonctions
Définition et NotationExemples Simples
- Comprendre comment une fonction peut être le résultat d'une autre fonction appliquée.
- Savoir noter et calculer une composition de fonctions.
2
Propriétés de la Composition de Fonctions
AssociativitéNon-commutativitéComposition avec la fonction identité
- La composition est associative : $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$ .
- La composition n'est généralement pas commutative : $f \circ g eq g \circ f$ .
- La composition avec la fonction identité $\text{id}(x) = x$ ne change pas la fonction.
3
Introduction à la Dérivation
Définition de la DérivéeInterprétation Géométrique : TangenteFonction Dérivée
- La dérivée mesure le taux de variation instantané d'une fonction.
- La dérivée en un point est la pente de la tangente à la courbe en ce point.
- La fonction dérivée associe à chaque point la dérivée de la fonction en ce point.
4
Règles de Dérivation Usuelles
Dérivées des fonctions usuellesOpérations sur les fonctions dérivables (somme, produit, quotient)
- Connaître les dérivées des fonctions polynômes, exponentielles, logarithmiques, trigonométriques.
- Appliquer les règles de dérivation pour les combinaisons de fonctions.
5
Théorème de la Dérivée d'une Composition
Formule de la Dérivée d'une CompositionApplication et exemples
- La formule clé pour dériver une composition : $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ .
- Savoir appliquer cette formule pour dériver des fonctions composées complexes.
6
Applications de la Dérivation
Étude de fonctions (variations, extrema)Optimisation
- Utiliser la dérivée pour étudier le sens de variation et trouver les extrema d'une fonction.
- Appliquer ces outils à des problèmes pratiques d'optimisation.

À retenir

Notions clés

Composition de Fonctions ($$f \circ g$$)

À mémoriser

Exemple

Si $f(x) = x^2$ et $g(x) = x+1$ , alors $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)^2$ .

Dérivée d'une Fonction ($$f'(x)$$, $$ \frac{df}{dx} $$)

À mémoriser

Exemple

La dérivée de $f(x) = x^2$ est $f'(x) = 2x$ . Au point $x=3$ , la dérivée est $f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$ , ce qui signifie que la tangente à la parabole au point $(3, 9)$ a une pente de 6.

Règle de Dérivation en Chaîne

À mémoriser

Exemple

Fonction Identité ($$\text{id}$$)

La fonction identité est une fonction $\text{id}(x) = x$ . Elle ne modifie pas son argument. Pour toute fonction $f$ , $f \circ \text{id} = f$ et $\text{id} \circ f = f$ .

Exemple

Si $f(x) = 3x+2$ , alors $(f \\circ \\text{id})(x) = f(\text{id}(x)) = f(x) = 3x+2$ .

En pratique

Exemple résolu

1
Étape 1 : Identifier les fonctions $f$ et $g$ . Ici, $f(u) = e^u$ (fonction extérieure) et $g(t) = \cos(t)$ (fonction intérieure).
2
Étape 2 : Calculer les dérivées de $f$ et $g$ . La dérivée de $f(u) = e^u$ est $f'(u) = e^u$ . La dérivée de $g(t) = \cos(t)$ est $g'(t) = -\sin(t)$ .
3
Étape 3 : Appliquer la règle de dérivation en chaîne $(f \circ g)'(t) = f'(g(t)) \cdot g'(t)$ . On substitue $g(t)$ dans $f'(u)$ pour obtenir $f'(g(t)) = e^{\cos(t)}$ . Ensuite, on multiplie par $g'(t)$ .
4
Résultat : La vitesse de la particule est $s'(t) = e^{\cos(t)} \cdot (-\sin(t)) = -\sin(t) e^{\cos(t)}$ .

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Règle de Dérivation en Chaîne

Composition de Fonctions

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Oublier de multiplier par la dérivée de la fonction intérieure lors de l'application de la règle de dérivation en chaîne.

Confondre la composition $f \circ g$ avec le produit $f \cdot g$ ou la somme $f + g$ .

Penser que la composition de fonctions est commutative, c'est-à-dire que $f \circ g = g \circ f$ .

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Notions clés

Composition de Fonctions ($$f \circ g$$)

Dérivée d'une Fonction ($$f'(x)$$, $$ \frac{df}{dx} $$)

Règle de Dérivation en Chaîne

Fonction Identité ($$\text{id}$$)

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Applications de la Dérivation

Notions clés

Composition de Fonctions ($$f \circ g$$)

Dérivée d'une Fonction ($$f'(x)$$, $$ \frac{df}{dx} $$)

Règle de Dérivation en Chaîne

Fonction Identité ($$\text{id}$$)

Exemple résolu

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