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Composition et dérivation de fonctions - Résumé de cours Mathematiques | Tutooris | Tutooris

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Composition et dérivation de fonctions

Ce chapitre explore la composition de fonctions, où l'on applique une fonction au résultat d'une autre ( $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ ). Il révise ensuite la dérivation, l'étude du taux de variation instantané et de la pente de la tangente. La formule clé est la règle de dérivation en chaîne : $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ . Cette règle est essentielle pour dériver des fonctions complexes construites par composition. Le chapitre aborde aussi les règles de dérivation usuelles (somme, produit, quotient) et les applications de la dérivation, comme l'étude des variations et la recherche d'extrema de fonctions, utiles dans des problèmes d'optimisation.

4 notions clés16 flashcardsMis à jour le 14 juin 2026

Le résumé

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2nde

MathematiquesApprouvé par un enseignant

Notion de fonction : images, antécédents et représentation

Une fonction f définie sur D associe à tout réel x de D un unique réel, noté f(x). D est l’ensemble de définition de f. Si f(a) = b, alors b est l’ima...

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À retenir

Notions clés

Composition de Fonctions ($$f \circ g$$)

À mémoriser

La composition de deux fonctions $f$ et $g$ , notée $f \circ g$ , est une fonction qui, pour une entrée $x$ , applique d'abord $g$ à $x$ , puis applique $f$ au résultat $g(x)$ . Mathématiquement, $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ .

Exemple

Si $f(x) = x^2$ et $g(x) = x+1$ , alors $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)^2$ .

Dérivée d'une Fonction ($$f'(x)$$, $$ \frac{df}{dx} $$)

À mémoriser

La dérivée d'une fonction $f$ en un point $x$ est la limite du taux d'accroissement de $f$ lorsque l'accroissement tend vers zéro. Elle représente la pente de la droite tangente à la courbe de $f$ au point $x$ .

Exemple

La dérivée de $f(x) = x^2$ est $f'(x) = 2x$ . Au point $x=3$ , la dérivée est $f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$ , ce qui signifie que la tangente à la parabole au point $(3, 9)$ a une pente de 6.

Règle de Dérivation en Chaîne

À mémoriser

Pour des fonctions $f$ et $g$ dérivables, la dérivée de leur composition $f \circ g$ est donnée par $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ . Elle stipule qu'on dérive la fonction 'extérieure' évaluée à la fonction 'intérieure', puis qu'on multiplie par la dérivée de la fonction 'intérieure'.

Exemple

Pour dériver $h(x) = \sin(x^2)$ , on identifie $f(u) = \sin(u)$ et $g(x) = x^2$ . Alors $f'(u) = \cos(u)$ et $g'(x) = 2x$ . La dérivée est $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$ .

Fonction Identité ($$\text{id}$$)

La fonction identité est une fonction $\text{id}(x) = x$ . Elle ne modifie pas son argument. Pour toute fonction $f$ , $f \circ \text{id} = f$ et $\text{id} \circ f = f$ .

Exemple

Si $f(x) = 3x+2$ , alors $(f \\circ \\text{id})(x) = f(\text{id}(x)) = f(x) = 3x+2$ .

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Oublier de multiplier par la dérivée de la fonction intérieure lors de l'application de la règle de dérivation en chaîne.

Il faut toujours se rappeler que la dérivée d'une composition $(f \circ g)'(x)$ est le produit de deux termes : la dérivée de la fonction extérieure évaluée en la fonction intérieure ( $f'(g(x))$ ) ET la dérivée de la fonction intérieure ( $g'(x)$ ). Ne pas omettre le second terme est crucial. Par exemple, pour $\sin(x^2)$ , la dérivée n'est pas juste $\cos(x^2)$ , mais $\cos(x^2) \cdot 2x$ .

Confondre la composition $f \circ g$ avec le produit $f \cdot g$ ou la somme $f + g$ .

La composition $f \circ g$ signifie appliquer $f$ au résultat de $g(x)$ , soit $f(g(x))$ . Le produit $f \cdot g$ signifie multiplier les valeurs des deux fonctions, soit $f(x) \cdot g(x)$ . Ce sont deux opérations distinctes avec des règles de dérivation différentes. Par exemple, la dérivée de $\sin(x) \cdot x^2$ est $\cos(x) \cdot x^2 + \sin(x) \cdot 2x$ (règle du produit), tandis que la dérivée de $\sin(x^2)$ est $\cos(x^2) \cdot 2x$ (règle de la chaîne).

Penser que la composition de fonctions est commutative, c'est-à-dire que $f \circ g = g \circ f$ .

La composition n'est généralement PAS commutative. L'ordre dans lequel les fonctions sont appliquées est important. Par exemple, si $f(x) = x+1$ et $g(x) = x^2$ , alors $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = x^2+1$ . Mais $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x+1) = (x+1)^2 = x^2+2x+1$ . Comme $x^2+1 \neq x^2+2x+1$ , on a bien $f \circ g \neq g \circ f$ .

Composition et dérivation de fonctions

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Notion de fonction : images, antécédents et représentation

Prérequis

Structure du cours

Introduction à la Composition de Fonctions

Propriétés de la Composition de Fonctions

Introduction à la Dérivation

Règles de Dérivation Usuelles

Théorème de la Dérivée d'une Composition

Applications de la Dérivation

Notions clés

Composition de Fonctions ($$f \circ g$$)

Dérivée d'une Fonction ($$f'(x)$$, $$ \frac{df}{dx} $$)

Règle de Dérivation en Chaîne

Fonction Identité ($$\text{id}$$)

Exemple résolu

Astuces & analogies

Règle de Dérivation en Chaîne

Composition de Fonctions

Erreurs fréquentes

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