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Espaces Vectoriels : Généralités et Applications

7 notions clés14 flashcardsMis à jour le 16 juin 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Les espaces vectoriels sont des ensembles dotés d'une addition et d'une multiplication par un scalaire, obéissant à des règles précises (axiomes). Les exemples clés sont $\mathbb{R}^n$ , les polynômes et les fonctions. Un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble stable par ces opérations. Les notions de famille libre (vecteurs indépendants) et génératrice (permettant de tout construire) sont fondamentales. Une base est une famille à la fois libre et génératrice, et sa taille définit la dimension de l'espace. Les applications linéaires préservent la structure vectorielle. Elles ont un noyau (les vecteurs envoyés sur zéro) et une image (l'ensemble des résultats possibles). Le théorème du rang relie ces dimensions.

Avant de commencer

Prérequis

Notions d'ensembles et d'opérations sur les ensembles.
Compréhension des corps commutatifs (comme $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).
Notions de vecteurs dans $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ (somme, multiplication par un scalaire).
Concepts de fonctions et de leurs propriétés.

Le plan

Structure du cours

1
Introduction aux Espaces Vectoriels
Définition et AxiomesExemples Fondamentaux
- Un espace vectoriel est un ensemble muni de deux lois (addition et multiplication par un scalaire) satisfaisant certains axiomes.
- Les exemples classiques incluent $\mathbb{R}^n$ , l'ensemble des polynômes, et l'ensemble des fonctions continues.
2
Sous-espaces Vectoriels
Définition et CritèresOpérations sur les Sous-espaces
- Un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble d'un espace vectoriel qui est lui-même un espace vectoriel sous les mêmes lois.
- Les sous-espaces peuvent être combinés par intersection (qui est toujours un sous-espace) et union (qui n'est pas toujours un sous-espace).
3
Familles de Vecteurs
Combinaisons LinéairesFamilles Libres et LiéesFamilles Génératrices
- Une combinaison linéaire de vecteurs est une somme de ces vecteurs multipliés par des scalaires.
- Une famille est libre si la seule combinaison linéaire nulle est celle avec tous les scalaires nuls. Elle est liée sinon.
- Une famille est génératrice si tout vecteur de l'espace peut s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de la famille.
4
Bases et Dimension
Définition d'une BaseDimension d'un Espace VectorielChangement de Base
- Une base est une famille à la fois libre et génératrice.
- La dimension d'un espace vectoriel est le nombre de vecteurs dans une de ses bases (toutes les bases d'un même espace ont le même cardinal).
- Le changement de base permet de représenter des vecteurs dans une autre base.
5
Applications Linéaires
Définition et PropriétésNoyau et ImageThéorème du Rang
- Une application linéaire (ou morphisme) est une fonction entre deux espaces vectoriels qui respecte les lois d'espace vectoriel.
- Le noyau d'une application linéaire est l'ensemble des vecteurs dont l'image est le vecteur nul.
- L'image est l'ensemble des vecteurs qui sont l'image d'au moins un vecteur.
- Le théorème du rang relie la dimension du noyau, la dimension de l'image et la dimension de l'espace de départ.

À retenir

Notions clés

Espace Vectoriel

À mémoriser

Un ensemble non vide $E$ muni de deux lois, une addition interne ( $+ : E \\times E \\to E$ ) et une multiplication externe par des scalaires ( $\cdot : \mathbb{K} \times E \to E$ , où $\mathbb{K}$ est un corps, typiquement $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ), telles que les axiomes de distributivité, d'associativité, d'existence d'un élément neutre pour l'addition, d'existence d'un symétrique pour l'addition, et les propriétés relatives à la multiplication externe soient vérifiés.

Exemple

L'ensemble $\mathbb{R}^2$ avec l'addition et la multiplication par un scalaire usuelles.

Sous-espace Vectoriel

À mémoriser

Un sous-ensemble non vide $F$ d'un espace vectoriel $E$ est un sous-espace vectoriel s'il est stable par l'addition et la multiplication externe de $E$ . Autrement dit, pour tous $u, v \in F$ et tout scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ , on a $u+v \in F$ et $\lambda u \in F$ .

Exemple

L'ensemble des vecteurs de la forme $(x, 0)$ dans $\mathbb{R}^2$ est un sous-espace vectoriel (une droite passant par l'origine).

Base

À mémoriser

Une base d'un espace vectoriel $E$ est une famille de vecteurs de $E$ qui est à la fois libre et génératrice.

Exemple

La famille $\mathcal{B} = \{(1,0), (0,1)\}$ est une base de $\mathbb{R}^2$ .

Dimension

À mémoriser

La dimension d'un espace vectoriel $E$ (notée $\dim(E)$ ) est le nombre de vecteurs dans une de ses bases. Si $E$ n'a pas de base finie, on dit qu'il est de dimension infinie.

Exemple

$\dim(\mathbb{R}^n) = n$ .

Application Linéaire

À mémoriser

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur le même corps $\mathbb{K}$ . Une application $f: E \to F$ est linéaire si, pour tous $u, v \in E$ et tout scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ , on a $f(u+v) = f(u) + f(v)$ et $f(\lambda u) = \lambda f(u)$ .

Exemple

L'application $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ définie par $f(x,y) = (x+y, x, y)$ est linéaire.

Noyau d'une Application Linéaire

À mémoriser

Pour une application linéaire $f: E \to F$ , le noyau de $f$ , noté $\ker(f)$ , est l'ensemble des vecteurs $u \in E$ tels que $f(u) = 0_F$ , où $0_F$ est le vecteur nul de $F$ . $\ker(f) = \{ u \in E \mid f(u) = 0_F \}$ . C'est un sous-espace vectoriel de $E$ .

Exemple

Pour $f(x,y) = (x+y, x, y)$ , $\ker(f) = \{(0,0)\}$ car le seul couple qui donne $(0,0,0)$ est $(0,0)$ .

Image d'une Application Linéaire

À mémoriser

Pour une application linéaire $f: E \to F$ , l'image de $f$ , notée $\text{Im}(f)$ , est l'ensemble des vecteurs $v \in F$ tels que il existe au moins un vecteur $u \in E$ avec $f(u) = v$ . $\text{Im}(f) = \{ f(u) \mid u \in E \}$ . C'est un sous-espace vectoriel de $F$ .

Exemple

Pour $f(x,y) = (x+y, x, y)$ , l'image est tout $\mathbb{R}^3$ car tout vecteur $(a,b,c)$ peut s'écrire sous la forme $f(x,y)$ .

En pratique

Exemple résolu

On considère l'espace vectoriel $E = \mathbb{R}^3$ . On veut déterminer si le sous-ensemble $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - y + z = 0 \}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , et si oui, trouver une base de $F$ et sa dimension.

1
Vérifier que $F$ est non vide : Le vecteur nul $(0,0,0)$ appartient à $F$ car $0 - 0 + 0 = 0$ . Donc $F$ est non vide.
2
Vérifier la stabilité par addition : Soient $u = (x_1, y_1, z_1) \in F$ et $v = (x_2, y_2, z_2) \in F$ . Cela signifie que $x_1 - y_1 + z_1 = 0$ et $x_2 - y_2 + z_2 = 0$ . Leur somme est $u+v = (x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$ . Pour $u+v \in F$ , il faut que $(x_1+x_2) - (y_1+y_2) + (z_1+z_2) = 0$ . En regroupant, on obtient $(x_1 - y_1 + z_1) + (x_2 - y_2 + z_2) = 0 + 0 = 0$ . Donc $u+v \in F$ .
3
Vérifier la stabilité par multiplication scalaire : Soit $u = (x, y, z) \in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ . On a $x - y + z = 0$ . Le vecteur $\lambda u = (\lambda x, \lambda y, \lambda z)$ . Pour $\lambda u \in F$ , il faut que $\lambda x - \lambda y + \lambda z = 0$ . En factorisant $\lambda$ , on obtient $\lambda (x - y + z) = \lambda \cdot 0 = 0$ . Donc $\lambda u \in F$ .
4
Conclusion : $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .
5
Trouver une base de $F$ : L'équation $x - y + z = 0$ peut être réécrite comme $x = y - z$ . Donc un vecteur $(x,y,z)$ dans $F$ est de la forme $(y-z, y, z)$ . On peut le décomposer : $(y-z, y, z) = (y,y,0) + (-z,0,z) = y(1,1,0) + z(-1,0,1)$ . Les vecteurs $v_1 = (1,1,0)$ et $v_2 = (-1,0,1)$ engendrent $F$ . Ils sont non nuls. Montrons qu'ils sont libres : $\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 = (0,0,0)$ implique $\lambda_1(1,1,0) + \lambda_2(-1,0,1) = (0,0,0)$ , ce qui donne $(\lambda_1 - \lambda_2, \lambda_1, \lambda_2) = (0,0,0)$ . On obtient donc $\lambda_1 = 0$ et $\lambda_2 = 0$ . La famille $\{(1,1,0), (-1,0,1)\}$ est libre et génératrice, c'est donc une base de $F$ .
6
Dimension : Comme la base a 2 vecteurs, la dimension de $F$ est $\dim(F) = 2$ . Ceci correspond géométriquement à un plan passant par l'origine dans $\mathbb{R}^3$ .
7
Résultat : $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ , une base de $F$ est $\{(1,1,0), (-1,0,1)\}$ , et $\dim(F) = 2$ . (Note : d'autres bases sont possibles, par exemple $\{(1,1,0), (0,1,1)\}$ ).

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Axiomes de l'espace vectoriel

Pensez aux règles de base pour pouvoir 'jouer' avec des objets mathématiques. L'addition doit bien se passer (associativité, neutre, inverse), la multiplication par un nombre doit aussi suivre certaines règles (distributivité, neutre), et ces deux opérations doivent interagir logiquement entre elles. C'est comme les règles d'une partie d'échecs : sans règles, ce n'est plus un jeu.

Famille Libre vs Famille Liée

Une famille libre est comme une équipe de personnes indépendantes : aucune ne peut être entièrement représentée par les autres. Une famille liée, c'est comme une équipe où une personne est 'en trop' car ses compétences sont déjà couvertes par les autres.

Base

Une base est le 'set minimal d'outils' pour construire n'importe quel élément de l'espace vectoriel. Pensez à une base de coordonnées (comme x et y) pour décrire n'importe quel point dans un plan. Vous ne pouvez pas vous passer d'un outil, et vous n'avez pas d'outils redondants.

Noyau et Image d'une Application Linéaire

Le noyau, c'est la 'zone d'effacement' : tous les éléments qui sont réduits à néant par l'application. L'image, c'est le 'paysage créé' par l'application : tous les éléments qui peuvent être atteints par elle.

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre 'libre' et 'génératrice'.

Une famille libre signifie qu'aucun vecteur n'est une combinaison linéaire des autres (indépendance). Une famille génératrice signifie que TOUS les vecteurs de l'espace PEUVENT être écrits comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille (pouvoir tout construire). Une base est les deux à la fois.

Penser que tous les sous-ensembles non vides sont des sous-espaces vectoriels.

Un sous-ensemble n'est un sous-espace que s'il est stable par addition et multiplication par un scalaire, et s'il contient le vecteur nul (ce qui est implicite dans la stabilité si on permet le scalaire 0). Par exemple, l'ensemble des vecteurs $(x,y)$ avec $x \ge 0$ dans $\mathbb{R}^2$ n'est pas un sous-espace car il n'est pas stable par multiplication par un scalaire négatif.

Oublier de vérifier que le vecteur nul appartient au sous-ensemble lorsqu'on le teste comme sous-espace vectoriel.

Bien que la stabilité par addition et multiplication par un scalaire implique souvent la présence du vecteur nul, il est bon de le vérifier explicitement. Si le vecteur nul n'appartient pas à l'ensemble, ce n'est pas un sous-espace vectoriel.

Confondre la dimension de l'espace de départ et de l'espace d'arrivée pour une application linéaire.

Le théorème du rang relie la dimension du noyau (sous-espace de l'espace de départ), la dimension de l'image (sous-espace de l'espace d'arrivée) et la dimension de l'espace de départ. Il est crucial de savoir de quel espace on parle pour chaque dimension.

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Le résumé

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Avant de commencer

Prérequis

Notions d'ensembles et d'opérations sur les ensembles.
Compréhension des corps commutatifs (comme $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).
Notions de vecteurs dans $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ (somme, multiplication par un scalaire).
Concepts de fonctions et de leurs propriétés.

Le plan

Structure du cours

1
Introduction aux Espaces Vectoriels
Définition et AxiomesExemples Fondamentaux
- Un espace vectoriel est un ensemble muni de deux lois (addition et multiplication par un scalaire) satisfaisant certains axiomes.
- Les exemples classiques incluent $\mathbb{R}^n$ , l'ensemble des polynômes, et l'ensemble des fonctions continues.
2
Sous-espaces Vectoriels
Définition et CritèresOpérations sur les Sous-espaces
- Un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble d'un espace vectoriel qui est lui-même un espace vectoriel sous les mêmes lois.
- Les sous-espaces peuvent être combinés par intersection (qui est toujours un sous-espace) et union (qui n'est pas toujours un sous-espace).
3
Familles de Vecteurs
Combinaisons LinéairesFamilles Libres et LiéesFamilles Génératrices
- Une combinaison linéaire de vecteurs est une somme de ces vecteurs multipliés par des scalaires.
- Une famille est libre si la seule combinaison linéaire nulle est celle avec tous les scalaires nuls. Elle est liée sinon.
- Une famille est génératrice si tout vecteur de l'espace peut s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de la famille.
4
Bases et Dimension
Définition d'une BaseDimension d'un Espace VectorielChangement de Base
- Une base est une famille à la fois libre et génératrice.
- La dimension d'un espace vectoriel est le nombre de vecteurs dans une de ses bases (toutes les bases d'un même espace ont le même cardinal).
- Le changement de base permet de représenter des vecteurs dans une autre base.
5
Applications Linéaires
Définition et PropriétésNoyau et ImageThéorème du Rang
- Une application linéaire (ou morphisme) est une fonction entre deux espaces vectoriels qui respecte les lois d'espace vectoriel.
- Le noyau d'une application linéaire est l'ensemble des vecteurs dont l'image est le vecteur nul.
- L'image est l'ensemble des vecteurs qui sont l'image d'au moins un vecteur.
- Le théorème du rang relie la dimension du noyau, la dimension de l'image et la dimension de l'espace de départ.

À retenir

Notions clés

Espace Vectoriel

À mémoriser

Exemple

L'ensemble $\mathbb{R}^2$ avec l'addition et la multiplication par un scalaire usuelles.

Sous-espace Vectoriel

À mémoriser

Exemple

L'ensemble des vecteurs de la forme $(x, 0)$ dans $\mathbb{R}^2$ est un sous-espace vectoriel (une droite passant par l'origine).

Base

À mémoriser

Une base d'un espace vectoriel $E$ est une famille de vecteurs de $E$ qui est à la fois libre et génératrice.

Exemple

La famille $\mathcal{B} = \{(1,0), (0,1)\}$ est une base de $\mathbb{R}^2$ .

Dimension

À mémoriser

La dimension d'un espace vectoriel $E$ (notée $\dim(E)$ ) est le nombre de vecteurs dans une de ses bases. Si $E$ n'a pas de base finie, on dit qu'il est de dimension infinie.

Exemple

$\dim(\mathbb{R}^n) = n$ .

Application Linéaire

À mémoriser

Exemple

L'application $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ définie par $f(x,y) = (x+y, x, y)$ est linéaire.

Noyau d'une Application Linéaire

À mémoriser

Exemple

Pour $f(x,y) = (x+y, x, y)$ , $\ker(f) = \{(0,0)\}$ car le seul couple qui donne $(0,0,0)$ est $(0,0)$ .

Image d'une Application Linéaire

À mémoriser

Exemple

Pour $f(x,y) = (x+y, x, y)$ , l'image est tout $\mathbb{R}^3$ car tout vecteur $(a,b,c)$ peut s'écrire sous la forme $f(x,y)$ .

En pratique

Exemple résolu

1
Vérifier que $F$ est non vide : Le vecteur nul $(0,0,0)$ appartient à $F$ car $0 - 0 + 0 = 0$ . Donc $F$ est non vide.
2
Vérifier la stabilité par addition : Soient $u = (x_1, y_1, z_1) \in F$ et $v = (x_2, y_2, z_2) \in F$ . Cela signifie que $x_1 - y_1 + z_1 = 0$ et $x_2 - y_2 + z_2 = 0$ . Leur somme est $u+v = (x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$ . Pour $u+v \in F$ , il faut que $(x_1+x_2) - (y_1+y_2) + (z_1+z_2) = 0$ . En regroupant, on obtient $(x_1 - y_1 + z_1) + (x_2 - y_2 + z_2) = 0 + 0 = 0$ . Donc $u+v \in F$ .
3
Vérifier la stabilité par multiplication scalaire : Soit $u = (x, y, z) \in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ . On a $x - y + z = 0$ . Le vecteur $\lambda u = (\lambda x, \lambda y, \lambda z)$ . Pour $\lambda u \in F$ , il faut que $\lambda x - \lambda y + \lambda z = 0$ . En factorisant $\lambda$ , on obtient $\lambda (x - y + z) = \lambda \cdot 0 = 0$ . Donc $\lambda u \in F$ .
4
Conclusion : $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .
5
Trouver une base de $F$ : L'équation $x - y + z = 0$ peut être réécrite comme $x = y - z$ . Donc un vecteur $(x,y,z)$ dans $F$ est de la forme $(y-z, y, z)$ . On peut le décomposer : $(y-z, y, z) = (y,y,0) + (-z,0,z) = y(1,1,0) + z(-1,0,1)$ . Les vecteurs $v_1 = (1,1,0)$ et $v_2 = (-1,0,1)$ engendrent $F$ . Ils sont non nuls. Montrons qu'ils sont libres : $\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 = (0,0,0)$ implique $\lambda_1(1,1,0) + \lambda_2(-1,0,1) = (0,0,0)$ , ce qui donne $(\lambda_1 - \lambda_2, \lambda_1, \lambda_2) = (0,0,0)$ . On obtient donc $\lambda_1 = 0$ et $\lambda_2 = 0$ . La famille $\{(1,1,0), (-1,0,1)\}$ est libre et génératrice, c'est donc une base de $F$ .
6
Dimension : Comme la base a 2 vecteurs, la dimension de $F$ est $\dim(F) = 2$ . Ceci correspond géométriquement à un plan passant par l'origine dans $\mathbb{R}^3$ .
7
Résultat : $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ , une base de $F$ est $\{(1,1,0), (-1,0,1)\}$ , et $\dim(F) = 2$ . (Note : d'autres bases sont possibles, par exemple $\{(1,1,0), (0,1,1)\}$ ).

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Axiomes de l'espace vectoriel

Famille Libre vs Famille Liée

Base

Noyau et Image d'une Application Linéaire

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre 'libre' et 'génératrice'.

Penser que tous les sous-ensembles non vides sont des sous-espaces vectoriels.

Oublier de vérifier que le vecteur nul appartient au sous-ensemble lorsqu'on le teste comme sous-espace vectoriel.

Confondre la dimension de l'espace de départ et de l'espace d'arrivée pour une application linéaire.

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Espace Vectoriel

Sous-espace Vectoriel

Base

Dimension

Application Linéaire

Noyau d'une Application Linéaire

Image d'une Application Linéaire

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Famille Libre vs Famille Liée

Base

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Familles de Vecteurs

Bases et Dimension

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Notions clés

Espace Vectoriel

Sous-espace Vectoriel

Base

Dimension

Application Linéaire

Noyau d'une Application Linéaire

Image d'une Application Linéaire

Exemple résolu

Astuces & analogies

Axiomes de l'espace vectoriel

Famille Libre vs Famille Liée

Base

Noyau et Image d'une Application Linéaire

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