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Espaces Vectoriels : Généralités et Applications - Résumé de cours Mathematiques | Tutooris | Tutooris

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Espaces Vectoriels : Généralités et Applications

Les espaces vectoriels sont des ensembles dotés d'une addition et d'une multiplication par un scalaire, obéissant à des règles précises (axiomes). Les exemples clés sont $\mathbb{R}^n$ , les polynômes et les fonctions. Un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble stable par ces opérations. Les notions de famille libre (vecteurs indépendants) et génératrice (permettant de tout construire) sont fondamentales. Une base est une famille à la fois libre et génératrice, et sa taille définit la dimension de l'espace. Les applications linéaires préservent la structure vectorielle. Elles ont un noyau (les vecteurs envoyés sur zéro) et une image (l'ensemble des résultats possibles). Le théorème du rang relie ces dimensions.

7 notions clés14 flashcardsMis à jour le 16 juin 2026

Le résumé

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2nde

MathematiquesApprouvé par un enseignant

Notion de fonction : images, antécédents et représentation

Une fonction f définie sur D associe à tout réel x de D un unique réel, noté f(x). D est l’ensemble de définition de f. Si f(a) = b, alors b est l’ima...

3 notions5 cartes

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Le plan

Structure du cours

1
Introduction aux Espaces Vectoriels
Définition et AxiomesExemples Fondamentaux
- Un espace vectoriel est un ensemble muni de deux lois (addition et multiplication par un scalaire) satisfaisant certains axiomes.
- Les exemples classiques incluent $\mathbb{R}^n$ , l'ensemble des polynômes, et l'ensemble des fonctions continues.
2
Sous-espaces Vectoriels
Définition et CritèresOpérations sur les Sous-espaces
- Un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble d'un espace vectoriel qui est lui-même un espace vectoriel sous les mêmes lois.
- Les sous-espaces peuvent être combinés par intersection (qui est toujours un sous-espace) et union (qui n'est pas toujours un sous-espace).
3
Familles de Vecteurs
Combinaisons LinéairesFamilles Libres et LiéesFamilles Génératrices
- Une combinaison linéaire de vecteurs est une somme de ces vecteurs multipliés par des scalaires.
- Une famille est libre si la seule combinaison linéaire nulle est celle avec tous les scalaires nuls. Elle est liée sinon.
- Une famille est génératrice si tout vecteur de l'espace peut s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de la famille.
4
Bases et Dimension
Définition d'une BaseDimension d'un Espace VectorielChangement de Base
- Une base est une famille à la fois libre et génératrice.
- La dimension d'un espace vectoriel est le nombre de vecteurs dans une de ses bases (toutes les bases d'un même espace ont le même cardinal).
- Le changement de base permet de représenter des vecteurs dans une autre base.
5
Applications Linéaires
Définition et PropriétésNoyau et ImageThéorème du Rang
- Une application linéaire (ou morphisme) est une fonction entre deux espaces vectoriels qui respecte les lois d'espace vectoriel.
- Le noyau d'une application linéaire est l'ensemble des vecteurs dont l'image est le vecteur nul.
- L'image est l'ensemble des vecteurs qui sont l'image d'au moins un vecteur.
- Le théorème du rang relie la dimension du noyau, la dimension de l'image et la dimension de l'espace de départ.

À retenir

Notions clés

Espace Vectoriel

À mémoriser

Un ensemble non vide $E$ muni de deux lois, une addition interne ( $+ : E \\times E \\to E$ ) et une multiplication externe par des scalaires ( $\cdot : \mathbb{K} \times E \to E$ , où $\mathbb{K}$ est un corps, typiquement $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ), telles que les axiomes de distributivité, d'associativité, d'existence d'un élément neutre pour l'addition, d'existence d'un symétrique pour l'addition, et les propriétés relatives à la multiplication externe soient vérifiés.

Exemple

L'ensemble $\mathbb{R}^2$ avec l'addition et la multiplication par un scalaire usuelles.

Sous-espace Vectoriel

À mémoriser

Un sous-ensemble non vide $F$ d'un espace vectoriel $E$ est un sous-espace vectoriel s'il est stable par l'addition et la multiplication externe de $E$ . Autrement dit, pour tous $u, v \in F$ et tout scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ , on a $u+v \in F$ et $\lambda u \in F$ .

Exemple

L'ensemble des vecteurs de la forme $(x, 0)$ dans $\mathbb{R}^2$ est un sous-espace vectoriel (une droite passant par l'origine).

Base

À mémoriser

Une base d'un espace vectoriel $E$ est une famille de vecteurs de $E$ qui est à la fois libre et génératrice.

Exemple

La famille $\mathcal{B} = \{(1,0), (0,1)\}$ est une base de $\mathbb{R}^2$ .

Dimension

À mémoriser

La dimension d'un espace vectoriel $E$ (notée $\dim(E)$ ) est le nombre de vecteurs dans une de ses bases. Si $E$ n'a pas de base finie, on dit qu'il est de dimension infinie.

Exemple

$\dim(\mathbb{R}^n) = n$ .

Application Linéaire

À mémoriser

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur le même corps $\mathbb{K}$ . Une application $f: E \to F$ est linéaire si, pour tous $u, v \in E$ et tout scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ , on a $f(u+v) = f(u) + f(v)$ et $f(\lambda u) = \lambda f(u)$ .

Exemple

L'application $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ définie par $f(x,y) = (x+y, x, y)$ est linéaire.

Noyau d'une Application Linéaire

À mémoriser

Pour une application linéaire $f: E \to F$ , le noyau de $f$ , noté $\ker(f)$ , est l'ensemble des vecteurs $u \in E$ tels que $f(u) = 0_F$ , où $0_F$ est le vecteur nul de $F$ . $\ker(f) = \{ u \in E \mid f(u) = 0_F \}$ . C'est un sous-espace vectoriel de $E$ .

Exemple

Pour $f(x,y) = (x+y, x, y)$ , $\ker(f) = \{(0,0)\}$ car le seul couple qui donne $(0,0,0)$ est $(0,0)$ .

Image d'une Application Linéaire

À mémoriser

Pour une application linéaire $f: E \to F$ , l'image de $f$ , notée $\text{Im}(f)$ , est l'ensemble des vecteurs $v \in F$ tels que il existe au moins un vecteur $u \in E$ avec $f(u) = v$ . $\text{Im}(f) = \{ f(u) \mid u \in E \}$ . C'est un sous-espace vectoriel de $F$ .

Exemple

Pour $f(x,y) = (x+y, x, y)$ , l'image est tout $\mathbb{R}^3$ car tout vecteur $(a,b,c)$ peut s'écrire sous la forme $f(x,y)$ .

En pratique

Exemple résolu

On considère l'espace vectoriel $E = \mathbb{R}^3$ . On veut déterminer si le sous-ensemble $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - y + z = 0 \}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , et si oui, trouver une base de $F$ et sa dimension.

1
Vérifier que $F$ est non vide : Le vecteur nul $(0,0,0)$ appartient à $F$ car $0 - 0 + 0 = 0$ . Donc $F$ est non vide.
2
Vérifier la stabilité par addition : Soient $u = (x_1, y_1, z_1) \in F$ et $v = (x_2, y_2, z_2) \in F$ . Cela signifie que $x_1 - y_1 + z_1 = 0$ et $x_2 - y_2 + z_2 = 0$ . Leur somme est $u+v = (x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$ . Pour $u+v \in F$ , il faut que $(x_1+x_2) - (y_1+y_2) + (z_1+z_2) = 0$ . En regroupant, on obtient $(x_1 - y_1 + z_1) + (x_2 - y_2 + z_2) = 0 + 0 = 0$ . Donc $u+v \in F$ .
3
Vérifier la stabilité par multiplication scalaire : Soit $u = (x, y, z) \in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ . On a $x - y + z = 0$ . Le vecteur $\lambda u = (\lambda x, \lambda y, \lambda z)$ . Pour $\lambda u \in F$ , il faut que $\lambda x - \lambda y + \lambda z = 0$ . En factorisant $\lambda$ , on obtient $\lambda (x - y + z) = \lambda \cdot 0 = 0$ . Donc $\lambda u \in F$ .
4
Conclusion : $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .
5
Trouver une base de $F$ : L'équation $x - y + z = 0$ peut être réécrite comme $x = y - z$ . Donc un vecteur $(x,y,z)$ dans $F$ est de la forme $(y-z, y, z)$ . On peut le décomposer : $(y-z, y, z) = (y,y,0) + (-z,0,z) = y(1,1,0) + z(-1,0,1)$ . Les vecteurs $v_1 = (1,1,0)$ et $v_2 = (-1,0,1)$ engendrent $F$ . Ils sont non nuls. Montrons qu'ils sont libres : $\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 = (0,0,0)$ implique $\lambda_1(1,1,0) + \lambda_2(-1,0,1) = (0,0,0)$ , ce qui donne $(\lambda_1 - \lambda_2, \lambda_1, \lambda_2) = (0,0,0)$ . On obtient donc $\lambda_1 = 0$ et $\lambda_2 = 0$ . La famille $\{(1,1,0), (-1,0,1)\}$ est libre et génératrice, c'est donc une base de $F$ .
6
Dimension : Comme la base a 2 vecteurs, la dimension de $F$ est $\dim(F) = 2$ . Ceci correspond géométriquement à un plan passant par l'origine dans $\mathbb{R}^3$ .
7
Résultat : $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ , une base de $F$ est $\{(1,1,0), (-1,0,1)\}$ , et $\dim(F) = 2$ . (Note : d'autres bases sont possibles, par exemple $\{(1,1,0), (0,1,1)\}$ ).

Espaces Vectoriels : Généralités et Applications

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Notion de fonction : images, antécédents et représentation

Prérequis

Structure du cours

Introduction aux Espaces Vectoriels

Sous-espaces Vectoriels

Familles de Vecteurs

Bases et Dimension

Applications Linéaires

Notions clés

Espace Vectoriel

Sous-espace Vectoriel

Base

Dimension

Application Linéaire

Noyau d'une Application Linéaire

Image d'une Application Linéaire

Exemple résolu

Astuces & analogies

Axiomes de l'espace vectoriel

Famille Libre vs Famille Liée

Base

Noyau et Image d'une Application Linéaire

Erreurs fréquentes

Flashcards

Équations et inéquations : méthodes et tableaux de signes

Vecteurs et géométrie plane : bases et colinéarité