Mathematiqueslicence_1

Trigonométrie : cercle, fonctions et formules

5 notions clés17 flashcardsMis à jour le 9 juin 2026

Le résumé

Comprendre le cours

La trigonométrie, au cœur des mathématiques de Licence 1, établit des liens essentiels entre angles et longueurs. L'outil central est le cercle trigonométrique, un cercle unité permettant de définir le sinus et le cosinus pour tout nombre réel. Les angles s'expriment en radians ( $\pi$ radians = $180^{\circ}$ ), unité privilégiée. Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont périodiques de période $2\pi$ , et $\tan$ de période $\pi$ . L'identité fondamentale $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ est primordiale. Des formules de transformation (addition, duplication) permettent de calculer des valeurs complexes à partir de valeurs connues. La trigonométrie trouve des applications majeures en physique (ondes, oscillations) et en géométrie.

Avant de commencer

Prérequis

Notions de géométrie plane (triangles, angles, cercle)
Repères cartésiens
Fonctions et leurs propriétés de base (domaine, image, parité, périodicité)
Calculs algébriques élémentaires

Le plan

Structure du cours

1
Introduction à la Trigonométrie
Origines et Contexte HistoriqueLe Cercle Trigonométrique : Outil Fondamental
- La trigonométrie permet de relier les angles aux longueurs des côtés dans les triangles.
- Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère cartésien, permettant de visualiser les fonctions trigonométriques pour tout nombre réel.
2
Définitions et Concepts Clés
Les Fonctions Trigonométriques : sinus, cosinus, tangenteRadians et DegrésDomaines de Définition et Images
- Définition du sinus, cosinus et tangente à l'aide du cercle trigonométrique.
- Conversion entre les mesures en degrés et en radians.
- Identification des ensembles de départ et d'arrivée pour chaque fonction.
3
Propriétés des Fonctions Trigonométriques
PériodicitéParité et ImparitéLignes Trigonométriques et Relations Fondamentales
- Comprendre le comportement répétitif des fonctions (périodicité).
- Analyser la symétrie des fonctions par rapport à l'axe des ordonnées (paire) ou à l'origine (impaire).
- Maîtriser les identités fondamentales comme $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ .
4
Formules de Transformation
Formules d'addition et de soustractionFormules de duplicationFormules de Simpson (sommes et différences de sinus et cosinus)
- Calculer les valeurs trigonométriques pour des sommes ou différences d'angles.
- Exprimer les fonctions trigonométriques d'un angle double en fonction de cet angle.
- Transformer des sommes ou différences en produits, et inversement.
5
Applications
Résolution de trianglesOndes et OscillationsGéométrie et Physique
- Utilisation des lois du sinus et du cosinus pour résoudre des triangles quelconques.
- Modélisation de phénomènes périodiques (son, lumière, courants électriques).
- Applications dans divers domaines scientifiques et techniques.

À retenir

Notions clés

Cercle Trigonométrique

À mémoriser

Un cercle de rayon unité $\text{r}=1$ centré à l'origine d'un repère cartésien. Il permet de définir les fonctions trigonométriques pour tout nombre réel $\theta$ , représentant un angle orienté.

Exemple

Pour un angle $\theta$ , le point $\text{M}$ sur le cercle a pour coordonnées $\left( \cos(\theta), \sin(\theta) \right)$ .

Radians

À mémoriser

Unité de mesure d'angle où un tour complet est égal à $2\pi$ radians. Un angle de $1$ radian intercepte un arc de longueur égale au rayon.

Exemple

$180^{\circ} = \pi \text{ radians}$ ; $90^{\circ} = \frac{\pi}{2} \text{ radians}$

Fonctions Trigonométriques

À mémoriser

Les fonctions fondamentales sont le sinus ( $\sin$ ), le cosinus ( $\cos$ ) et la tangente ( $\tan$ ). Elles associent à un angle $x$ un rapport de longueurs ou une valeur spécifique.

Exemple

$\sin(x) = y_{\text{coordonnée}}$ du point sur le cercle ; $\cos(x) = x_{\text{coordonnée}}$ du point sur le cercle ; $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ pour $\cos(x) \neq 0$ .

Périodicité

À mémoriser

Une fonction $f$$ est périodique de période $$T$$ ($$T>0$$) si $$f(x+T) = f(x)$$ pour tout$ x$ dans le domaine de définition. Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont périodiques de période $2\pi$ .

Exemple

$\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ ; $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$

Identité Fondamentale

À mémoriser

La relation la plus importante reliant le sinus et le cosinus : $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ pour tout nombre réel $x$ .

Exemple

Si $\cos(x) = \frac{3}{5}$ et $x$ est dans le premier quadrant, alors $\sin^2(x) = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ , donc $\sin(x) = \frac{4}{5}$ .

En pratique

Exemple résolu

Calculer $\cos(\frac{\pi}{12})$ en utilisant les formules d'addition.

1
Étape 1 : Décomposer l'angle. On remarque que $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ .
2
Étape 2 : Appliquer la formule d'addition pour le cosinus : $\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$ .
3
Étape 3 : Substituer les valeurs connues : $\cos(\frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{4}) + \sin(\frac{\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{4})$ .
4
Étape 4 : Calculer les valeurs : $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}, \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
5
Résultat : $\cos(\frac{\pi}{12}) = (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

SOH CAH TOA pour les fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle.

Un moyen mnémotechnique pour retenir les définitions de base : Sin = Opposé/Hypoténuse, Cos = Adjacent/Hypoténuse, Tan = Opposé/Adjacent. (SOH CAH TOA)

Le signe des fonctions trigonométriques dans les différents quadrants.

L'astuce 'All Students Take Calculus' (ou 'Tous à Cannes' pour les francophones). Premier quadrant (All) : tous positifs. Deuxième quadrant (Students) : sinus positif. Troisième quadrant (Take) : tangente positive. Quatrième quadrant (Calculus) : cosinus positif.

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre degrés et radians, surtout lors des calculs et de l'utilisation de la calculatrice.

Toujours vérifier l'unité utilisée. Si la calculatrice est en mode 'degrés' pour un calcul en radians, le résultat sera faux. Inversement, si elle est en mode 'radians' pour des degrés. Par convention, si l'unité n'est pas précisée, il s'agit de radians.

Oublier la relation fondamentale $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ , ou faire des erreurs dans son application.

Cette identité est cruciale. Elle découle directement du théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les coordonnées $x$ , $y$ et le rayon (hypoténuse) du cercle trigonométrique. Elle permet de retrouver une fonction si l'autre est connue, en tenant compte du quadrant.

Appliquer incorrectement les formules d'addition ou de duplication.

Ces formules ont des signes et des multiplications spécifiques. Par exemple, $\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$ . Il faut faire attention aux signes qui changent pour le cosinus, mais pas pour le sinus ( $\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$ ). Pour la duplication du cosinus, il existe trois formes : $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x)$ .

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Repères cartésiens
Fonctions et leurs propriétés de base (domaine, image, parité, périodicité)
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Le plan

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1
Introduction à la Trigonométrie
Origines et Contexte HistoriqueLe Cercle Trigonométrique : Outil Fondamental
- La trigonométrie permet de relier les angles aux longueurs des côtés dans les triangles.
- Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère cartésien, permettant de visualiser les fonctions trigonométriques pour tout nombre réel.
2
Définitions et Concepts Clés
Les Fonctions Trigonométriques : sinus, cosinus, tangenteRadians et DegrésDomaines de Définition et Images
- Définition du sinus, cosinus et tangente à l'aide du cercle trigonométrique.
- Conversion entre les mesures en degrés et en radians.
- Identification des ensembles de départ et d'arrivée pour chaque fonction.
3
Propriétés des Fonctions Trigonométriques
PériodicitéParité et ImparitéLignes Trigonométriques et Relations Fondamentales
- Comprendre le comportement répétitif des fonctions (périodicité).
- Analyser la symétrie des fonctions par rapport à l'axe des ordonnées (paire) ou à l'origine (impaire).
- Maîtriser les identités fondamentales comme $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ .
4
Formules de Transformation
Formules d'addition et de soustractionFormules de duplicationFormules de Simpson (sommes et différences de sinus et cosinus)
- Calculer les valeurs trigonométriques pour des sommes ou différences d'angles.
- Exprimer les fonctions trigonométriques d'un angle double en fonction de cet angle.
- Transformer des sommes ou différences en produits, et inversement.
5
Applications
Résolution de trianglesOndes et OscillationsGéométrie et Physique
- Utilisation des lois du sinus et du cosinus pour résoudre des triangles quelconques.
- Modélisation de phénomènes périodiques (son, lumière, courants électriques).
- Applications dans divers domaines scientifiques et techniques.

À retenir

Notions clés

Cercle Trigonométrique

À mémoriser

Exemple

Pour un angle $\theta$ , le point $\text{M}$ sur le cercle a pour coordonnées $\left( \cos(\theta), \sin(\theta) \right)$ .

Radians

À mémoriser

Unité de mesure d'angle où un tour complet est égal à $2\pi$ radians. Un angle de $1$ radian intercepte un arc de longueur égale au rayon.

Exemple

$180^{\circ} = \pi \text{ radians}$ ; $90^{\circ} = \frac{\pi}{2} \text{ radians}$

Fonctions Trigonométriques

À mémoriser

Les fonctions fondamentales sont le sinus ( $\sin$ ), le cosinus ( $\cos$ ) et la tangente ( $\tan$ ). Elles associent à un angle $x$ un rapport de longueurs ou une valeur spécifique.

Exemple

$\sin(x) = y_{\text{coordonnée}}$ du point sur le cercle ; $\cos(x) = x_{\text{coordonnée}}$ du point sur le cercle ; $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ pour $\cos(x) \neq 0$ .

Périodicité

À mémoriser

Une fonction $f$$ est périodique de période $$T$$ ($$T>0$$) si $$f(x+T) = f(x)$$ pour tout$ x$ dans le domaine de définition. Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont périodiques de période $2\pi$ .

Exemple

$\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ ; $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$

Identité Fondamentale

À mémoriser

La relation la plus importante reliant le sinus et le cosinus : $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ pour tout nombre réel $x$ .

Exemple

Si $\cos(x) = \frac{3}{5}$ et $x$ est dans le premier quadrant, alors $\sin^2(x) = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ , donc $\sin(x) = \frac{4}{5}$ .

En pratique

Exemple résolu

Calculer $\cos(\frac{\pi}{12})$ en utilisant les formules d'addition.

1
Étape 1 : Décomposer l'angle. On remarque que $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ .
2
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3
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4
Étape 4 : Calculer les valeurs : $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}, \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
5
Résultat : $\cos(\frac{\pi}{12}) = (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

SOH CAH TOA pour les fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle.

Un moyen mnémotechnique pour retenir les définitions de base : Sin = Opposé/Hypoténuse, Cos = Adjacent/Hypoténuse, Tan = Opposé/Adjacent. (SOH CAH TOA)

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Radians

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Périodicité

Identité Fondamentale

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Définitions et Concepts Clés

Propriétés des Fonctions Trigonométriques

Formules de Transformation

Applications

Notions clés

Cercle Trigonométrique

Radians

Fonctions Trigonométriques

Périodicité

Identité Fondamentale

Exemple résolu

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Le signe des fonctions trigonométriques dans les différents quadrants.

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