Mathematiquesmaster_2

Fonctions : concepts, propriétés et analyse M2

4 notions clés15 flashcardsMis à jour le 16 juin 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Le chapitre sur les fonctions en Master 2 consolide et approfondit les notions fondamentales de l'analyse. Il démarre par une définition rigoureuse des fonctions, leur domaine, leur image, et leurs représentations graphiques, incluant les opérations usuelles. Les propriétés clés comme la parité, la monotonie, la périodicité, et les concepts d'injectivité, surjectivité, bijectivité sont étudiés. L'accent est mis sur les fonctions usuelles (polynômes, rationnelles, trigonométriques, exponentielles, logarithmiques) et leurs caractéristiques. Les notions de limite et de continuité sont formalisées, menant aux puissants théorèmes des valeurs intermédiaires et de la bijection. Enfin, la dérivabilité est analysée à travers le nombre dérivé et la fonction dérivée, permettant l'étude fine des variations, des extremums, de la convexité et l'introduction aux développements limités pour des approximations locales précises.

Avant de commencer

Prérequis

Notions de base sur les ensembles (union, intersection, complémentaire).
Compréhension des inégalités et des intervalles.
Calculs algébriques élémentaires (factorisation, développement).
Notions sur les limites de suites (pour la base intuitive des limites de fonctions).
Concepts de base de la géométrie analytique (représentation graphique, équation de droite).

Le plan

Structure du cours

1
I. Rappels et Généralités sur les Fonctions
A. Définition d'une fonctionB. Ensemble de définition, image, antécédentC. Représentation graphiqueD. Opérations sur les fonctions
- Une fonction est une relation qui associe à chaque élément d'un ensemble de départ (domaine de définition) au plus un élément d'un ensemble d'arrivée (codomaine).
- Domaine de définition $D_f$ , image $f(D_f)$ , antécédents d'un élément $y$ : $f^{-1}({y})$$.
- La représentation graphique d'une fonction $f: A \to B$ est l'ensemble des points $(x, f(x))$ dans un repère cartésien.
- Addition, soustraction, multiplication, division et composition de fonctions.
2
II. Propriétés des Fonctions
A. Parité (paire, impaire)B. Monotonie (croissante, décroissante, constante)C. PériodicitéD. Injectivité, surjectivité, bijectivité
- Parité : $f(-x) = f(x)$ (paire), $f(-x) = -f(x)$ (impaire). Symétries : axe des ordonnées, origine.
- Monotonie : étude du signe de la dérivée (si elle existe) ou utilisation de la définition : $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \le f(x_2)$ (croissante).
- Périodicité : il existe $T > 0$ tel que $f(x+T) = f(x)$ pour tout $x$ dans le domaine.
- Injectivité : chaque élément de l'ensemble d'arrivée est atteint au plus une fois. Surjectivité : chaque élément de l'ensemble d'arrivée est atteint au moins une fois. Bijectivité : Injectivité ET surjectivité (bijection).
3
III. Fonctions Usuelles et Leurs Propriétés
A. Fonctions polynomialesB. Fonctions rationnellesC. Fonctions trigonométriques (sin, cos, tan)D. Fonctions exponentielles et logarithmiquesE. Fonctions réciproques
- Étude des degrés, racines, comportement à l'infini, dérivées.
- Domaine de définition (dénominateur non nul), asymptotes.
- Périodicité, dérivées, valeurs remarquables.
- Croissance rapide/lente, limites, dérivées, inverses.
- Condition d'existence, définition, propriétés de $(f^{-1})$ .
4
IV. Limites et Continuité
A. Notion de limite (finie, infinie, à gauche, à droite)B. Opérations sur les limitesC. Continuité sur un intervalleD. Théorèmes fondamentaux (Valeurs Intermédiaires, Bijection)
- Comportement d'une fonction quand $x$ tend vers une valeur ou l'infini.
- Règles de calcul pour les sommes, produits, quotients de limites.
- Une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe ne présente pas de 'saut' ou de 'rupture'.
- Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) et Théorème de la bijection garantissent l'existence et l'unicité de solutions pour $f(x) = k$ sous certaines conditions.
5
V. Dérivabilité et Étude de Fonctions
A. Taux d'accroissement et nombre dérivéB. Dérivée d'une fonction, fonction dérivéeC. Opérations sur les dérivéesD. Applications de la dérivée (sens de variation, extremums, convexité, points d'inflexion)E. Développements limités (DL)
- Le nombre dérivé en $a$ est la limite du taux d'accroissement : $\lim_{h o 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . C'est la pente de la tangente.
- Fonction dérivée $f'$ : associe à $x$ la dérivée de $f$ en $x$ ( $f'(x)$ ).
- Formules de dérivation pour sommes, produits, quotients, fonctions composées.
- Le signe de $f'$ renseigne sur le sens de variation de $f$ . $f'(x)=0$ aux extremums locaux.
- Approximation locale d'une fonction par des polynômes, utile pour l'étude des limites et le comportement près d'un point.

À retenir

Notions clés

Fonction

À mémoriser

Une relation $f$ qui à tout élément $x$ d'un ensemble $D$ (domaine de définition) associe un unique élément $f(x)$ d'un ensemble $A$ (ensemble d'arrivée). Notation : $f: D o A$ .

Exemple

La fonction carré $f(x) = x^2$ définie sur $\mathbb{R}$ associe à tout réel $x$ son carré $x^2$ .

Bijectivité

À mémoriser

Une fonction $f: A o B$ est bijective si elle est à la fois injective (chaque élément de $B$ est image d'au plus un élément de $A$ ) et surjective (chaque élément de $B$ est image d'au moins un élément de $A$ ). Une bijection admet une fonction réciproque $f^{-1}: B o A$ .

Exemple

La fonction $f(x) = 2x+1$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ est bijective. Sa réciproque est $f^{-1}(y) = \frac{y-1}{2}$

Continuité sur un intervalle

À mémoriser

Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point $a$ de $I$ , c'est-à-dire $\lim_{x o a} f(x) = f(a)$ . Graphiquement, la courbe ne présente pas de rupture.

Exemple

Les fonctions polynomiales, exponentielles, logarithmiques (sur leur domaine de définition), sinus et cosinus sont continues sur tout intervalle de leur domaine.

Dérivabilité en un point

À mémoriser

Une fonction $f$ est dérivable en un point $a$ si la limite du taux d'accroissement $\lim_{h o 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe et est finie. Cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$ .

Exemple

La fonction $f(x) = x^2$ est dérivable en $a=3$ , car $\lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - 3^2}{h} = \lim_{h o 0} \frac{9+6h+h^2-9}{h} = \lim_{h o 0} (6+h) = 6$ . Donc $f'(3) = 6$

En pratique

Exemple résolu

Étudier les variations et les extremums de la fonction $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $\mathbb{R}$ pour trouver ses maximums et minimums locaux.

1
Étape 1 : Calculer la dérivée de la fonction. $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 1) = 3x^2 - 3$
2
Étape 2 : Trouver les points où la dérivée s'annule. $f'(x) = 0 \implies 3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1$ ou $x = -1$
3
Étape 3 : Étudier le signe de la dérivée pour déterminer le sens de variation. Le signe de $f'(x) = 3(x-1)(x+1)$ est : positif pour $x < -1$ , négatif pour $-1 < x < 1$ , et positif pour $x > 1$ .
4
Étape 4 : Interpréter les signes pour trouver les extremums. $f(x)$ est croissante sur $]-\infty, -1]$ , décroissante sur $[-1, 1]$ , et croissante sur $[1, +\infty)$ . Il y a donc un maximum local en $x = -1$ et un minimum local en $x = 1$
5
Résultat : La fonction $f(x)$ admet un maximum local $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$ en $x=-1$ , et un minimum local $f(1) = (1)^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$ en $x=1$ .

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Injectivité

Imaginez que chaque personne (élément de l'ensemble d'arrivée) reçoit au maximum un cadeau (une image d'un élément de l'ensemble de départ). Personne ne reçoit deux cadeaux, mais il peut y avoir des gens sans cadeau.

Surjectivité

Chaque personne (élément de l'ensemble d'arrivée) reçoit au moins un cadeau (une image d'un élément de l'ensemble de départ). Tout le monde est servi, mais certains peuvent recevoir plusieurs cadeaux.

Dérivée comme pente de la tangente

Pensez à la dérivée comme la 'vitesse instantanée' d'une voiture. Si vous regardez un graphique de distance en fonction du temps, la pente de la route à un instant précis vous donne la vitesse à cet instant.

TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires)

Si vous êtes en bas d'une montagne (valeur $a$ ) et que vous voulez aller en haut (valeur $b$ ) et que la montée est continue (pas de gouffre infranchissable), vous êtes obligé de passer par toutes les altitudes intermédiaires entre $a$ et $b$ . Le TVI garantit que si une fonction continue passe par deux valeurs, elle passe par toutes les valeurs intermédiaires.

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre la fonction réciproque $f^{-1}$ avec l'inverse $1/f$ .

Pour une fonction $f$ , la notation $f^{-1}(x)$ représente la fonction réciproque (si elle existe), telle que $f^{-1}(f(x)) = x$ et $f(f^{-1}(x)) = x$ . L'inverse est $\frac{1}{f(x)}$ . Par exemple, si $f(x) = x^2$ , alors $(f^{-1})(x) = \sqrt{x}$ (pour $x \ge 0$ ) mais $\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{x^2}$ .

Penser que si $f'(a) = 0$ , alors $f$ a un extremum local en $a$ sans vérifier le signe de $f'$ autour de $a$ .

$f'(a) = 0$ est une condition nécessaire mais PAS suffisante pour un extremum local. Il faut que $f'$ change de signe en $a$ . Par exemple, pour $f(x) = x^3$ , $f'(0) = 0$ , mais $f$ n'a pas d'extremum en $x=0$ car $f'(x)$ est négatif avant et positif après $0$ , donc $f$ est croissante. Pour $f(x) = x^3 - 3x + 1$ , $f'(-1)=0$ et $f'(1)=0$ . On vérifie : $f'(x) = 3(x-1)(x+1)$ . $f'$ passe de '+' à '-' en $x=-1$ (max local), et de '-' à '+' en $x=1$ (min local).

Erreurs dans les calculs de limites, notamment avec les formes indéterminées comme $\frac{\\\infty}{\infty}$ ou $0 \times \infty$ .

Il faut identifier la forme indéterminée et appliquer les techniques appropriées : factorisation par le terme dominant, utilisation de taux d'accroissement, règles de L'Hôpital (avec prudence, une fois le concept de dérivée maîtrisé), ou utilisation de limites connues. Par exemple, pour $\lim_{x \to \\infty} \frac{3x^2+1}{x^2-5}$ , on divise numérateur et dénominateur par $x^2$ : $\lim_{x \to \\infty} \frac{3 + 1/x^2}{1 - 5/x^2} = \frac{3+0}{1-0} = 3$ .

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Mathematiques

Espaces Vectoriels : Généralités et Applications

Les espaces vectoriels sont des ensembles dotés d'une addition et d'une multiplication par un scalaire, obéissant à des règles précises (axiomes). Les...

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Le résumé

Comprendre le cours

Avant de commencer

Prérequis

Notions de base sur les ensembles (union, intersection, complémentaire).
Compréhension des inégalités et des intervalles.
Calculs algébriques élémentaires (factorisation, développement).
Notions sur les limites de suites (pour la base intuitive des limites de fonctions).
Concepts de base de la géométrie analytique (représentation graphique, équation de droite).

Le plan

Structure du cours

1
I. Rappels et Généralités sur les Fonctions
A. Définition d'une fonctionB. Ensemble de définition, image, antécédentC. Représentation graphiqueD. Opérations sur les fonctions
- Une fonction est une relation qui associe à chaque élément d'un ensemble de départ (domaine de définition) au plus un élément d'un ensemble d'arrivée (codomaine).
- Domaine de définition $D_f$ , image $f(D_f)$ , antécédents d'un élément $y$ : $f^{-1}({y})$$.
- La représentation graphique d'une fonction $f: A \to B$ est l'ensemble des points $(x, f(x))$ dans un repère cartésien.
- Addition, soustraction, multiplication, division et composition de fonctions.
2
II. Propriétés des Fonctions
A. Parité (paire, impaire)B. Monotonie (croissante, décroissante, constante)C. PériodicitéD. Injectivité, surjectivité, bijectivité
- Parité : $f(-x) = f(x)$ (paire), $f(-x) = -f(x)$ (impaire). Symétries : axe des ordonnées, origine.
- Monotonie : étude du signe de la dérivée (si elle existe) ou utilisation de la définition : $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \le f(x_2)$ (croissante).
- Périodicité : il existe $T > 0$ tel que $f(x+T) = f(x)$ pour tout $x$ dans le domaine.
- Injectivité : chaque élément de l'ensemble d'arrivée est atteint au plus une fois. Surjectivité : chaque élément de l'ensemble d'arrivée est atteint au moins une fois. Bijectivité : Injectivité ET surjectivité (bijection).
3
III. Fonctions Usuelles et Leurs Propriétés
A. Fonctions polynomialesB. Fonctions rationnellesC. Fonctions trigonométriques (sin, cos, tan)D. Fonctions exponentielles et logarithmiquesE. Fonctions réciproques
- Étude des degrés, racines, comportement à l'infini, dérivées.
- Domaine de définition (dénominateur non nul), asymptotes.
- Périodicité, dérivées, valeurs remarquables.
- Croissance rapide/lente, limites, dérivées, inverses.
- Condition d'existence, définition, propriétés de $(f^{-1})$ .
4
IV. Limites et Continuité
A. Notion de limite (finie, infinie, à gauche, à droite)B. Opérations sur les limitesC. Continuité sur un intervalleD. Théorèmes fondamentaux (Valeurs Intermédiaires, Bijection)
- Comportement d'une fonction quand $x$ tend vers une valeur ou l'infini.
- Règles de calcul pour les sommes, produits, quotients de limites.
- Une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe ne présente pas de 'saut' ou de 'rupture'.
- Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) et Théorème de la bijection garantissent l'existence et l'unicité de solutions pour $f(x) = k$ sous certaines conditions.
5
V. Dérivabilité et Étude de Fonctions
A. Taux d'accroissement et nombre dérivéB. Dérivée d'une fonction, fonction dérivéeC. Opérations sur les dérivéesD. Applications de la dérivée (sens de variation, extremums, convexité, points d'inflexion)E. Développements limités (DL)
- Le nombre dérivé en $a$ est la limite du taux d'accroissement : $\lim_{h o 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . C'est la pente de la tangente.
- Fonction dérivée $f'$ : associe à $x$ la dérivée de $f$ en $x$ ( $f'(x)$ ).
- Formules de dérivation pour sommes, produits, quotients, fonctions composées.
- Le signe de $f'$ renseigne sur le sens de variation de $f$ . $f'(x)=0$ aux extremums locaux.
- Approximation locale d'une fonction par des polynômes, utile pour l'étude des limites et le comportement près d'un point.

À retenir

Notions clés

Fonction

À mémoriser

Une relation $f$ qui à tout élément $x$ d'un ensemble $D$ (domaine de définition) associe un unique élément $f(x)$ d'un ensemble $A$ (ensemble d'arrivée). Notation : $f: D o A$ .

Exemple

La fonction carré $f(x) = x^2$ définie sur $\mathbb{R}$ associe à tout réel $x$ son carré $x^2$ .

Bijectivité

À mémoriser

Exemple

La fonction $f(x) = 2x+1$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ est bijective. Sa réciproque est $f^{-1}(y) = \frac{y-1}{2}$

Continuité sur un intervalle

À mémoriser

Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point $a$ de $I$ , c'est-à-dire $\lim_{x o a} f(x) = f(a)$ . Graphiquement, la courbe ne présente pas de rupture.

Exemple

Les fonctions polynomiales, exponentielles, logarithmiques (sur leur domaine de définition), sinus et cosinus sont continues sur tout intervalle de leur domaine.

Dérivabilité en un point

À mémoriser

Une fonction $f$ est dérivable en un point $a$ si la limite du taux d'accroissement $\lim_{h o 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe et est finie. Cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$ .

Exemple

La fonction $f(x) = x^2$ est dérivable en $a=3$ , car $\lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - 3^2}{h} = \lim_{h o 0} \frac{9+6h+h^2-9}{h} = \lim_{h o 0} (6+h) = 6$ . Donc $f'(3) = 6$

En pratique

Exemple résolu

Étudier les variations et les extremums de la fonction $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $\mathbb{R}$ pour trouver ses maximums et minimums locaux.

1
Étape 1 : Calculer la dérivée de la fonction. $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 1) = 3x^2 - 3$
2
Étape 2 : Trouver les points où la dérivée s'annule. $f'(x) = 0 \implies 3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1$ ou $x = -1$
3
Étape 3 : Étudier le signe de la dérivée pour déterminer le sens de variation. Le signe de $f'(x) = 3(x-1)(x+1)$ est : positif pour $x < -1$ , négatif pour $-1 < x < 1$ , et positif pour $x > 1$ .
4
Étape 4 : Interpréter les signes pour trouver les extremums. $f(x)$ est croissante sur $]-\infty, -1]$ , décroissante sur $[-1, 1]$ , et croissante sur $[1, +\infty)$ . Il y a donc un maximum local en $x = -1$ et un minimum local en $x = 1$
5
Résultat : La fonction $f(x)$ admet un maximum local $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$ en $x=-1$ , et un minimum local $f(1) = (1)^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$ en $x=1$ .

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Injectivité

Surjectivité

Dérivée comme pente de la tangente

TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires)

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre la fonction réciproque $f^{-1}$ avec l'inverse $1/f$ .

Penser que si $f'(a) = 0$ , alors $f$ a un extremum local en $a$ sans vérifier le signe de $f'$ autour de $a$ .

Erreurs dans les calculs de limites, notamment avec les formes indéterminées comme $\frac{\\\infty}{\infty}$ ou $0 \times \infty$ .

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III. Fonctions Usuelles et Leurs Propriétés

IV. Limites et Continuité

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Fonction

Bijectivité

Continuité sur un intervalle

Dérivabilité en un point

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Surjectivité

Dérivée comme pente de la tangente

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III. Fonctions Usuelles et Leurs Propriétés

IV. Limites et Continuité

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Fonction

Bijectivité

Continuité sur un intervalle

Dérivabilité en un point

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Injectivité

Surjectivité

Dérivée comme pente de la tangente

TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires)

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