Introduction à la dérivation et étude des variations
Le résumé
Comprendre le cours
La dérivée mesure le taux de variation instantané d'une fonction. Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse . On calcule via des formules usuelles (puissances, exponentielle, logarithme) et des règles de composition (produit, quotient). Si , la fonction croît ; si , elle décroît. L'annulation de la dérivée avec changement de signe indique un extremum local. La maîtrise des formules de dérivation est le pilier de l'étude de fonctions en terminale.
Avant de commencer
Prérequis
Maîtrise des limites
Opérations sur les fractions
Propriétés des fonctions usuelles (polynômes, , )
Le plan
Structure du cours
- 1
Définition et interprétation géométrique
Taux d'accroissementNombre dérivé et tangenteLe taux d'accroissement tend vers un réel quand tend vers
La tangente en a pour équation
- 2
Fonctions dérivées usuelles et opérations
Formulaire de baseRègles de dérivationDérivées des fonctions puissances, exponentielle et logarithme
Linéarité de la dérivée et dérivation d'un produit ou quotient
- 3
Étude des variations
Lien entre signe de la dérivée et variationsExtremums locauxSi alors est croissante
Un extremum local annule la dérivée en changeant de signe
À retenir
Notions clés
Nombre dérivé
À mémoriserLimite du taux d'accroissement lorsque tend vers .
Pour , le nombre dérivé en est .
Fonction dérivée
À mémoriserFonction qui associe à chaque le nombre dérivé .
La dérivée de est .
Tangente
À mémoriserDroite qui approche le mieux la courbe au voisinage d'un point.
Son coefficient directeur est .
En pratique
Exemple résolu
Déterminer l'équation de la tangente à au point d'abscisse .
- 1
Calculer l'image : .
- 2
Calculer la dérivée : , donc .
- 3
Appliquer la formule : .
- 4
Résultat : L'équation de la tangente est .
Mémoriser plus vite
Astuces & analogies
Dérivée d'un produit $$(uv)'$$
La règle du "1, 2, 2, 1" : . C'est comme une valse : le premier dérivé multiplié par le second non touché, puis inversement.
Signe de la dérivée et variations
La météo : (positif) signifie que la température monte (croissance), (négatif) signifie qu'elle baisse (décroissance).
Ne plus se tromper
Erreurs fréquentes
Confondre la dérivée d'un produit avec
La dérivée d'un produit n'est jamais le produit des dérivées. Il faut impérativement utiliser la formule .
Oublier la dérivée de la fonction composée
Il ne faut pas oublier le facteur multiplicatif : . Par exemple, .
Se tester
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