Équations du 1er degré : ax + b = c
Le résumé
Comprendre le cours
Les équations du premier degré, comme , visent à trouver la valeur de l'inconnue 'x'. La résolution repose sur l'utilisation d'opérations inverses pour isoler 'x'. Chaque opération appliquée à un membre doit l'être à l'autre pour maintenir l'égalité. Il faut regrouper les termes en 'x' d'un côté et les nombres de l'autre. Des erreurs courantes incluent l'oubli de la symétrie de l'égalité ou les changements de signe lors des transpositions. Certaines équations peuvent n'avoir aucune solution ou une infinité, notamment lorsqu'après simplification on obtient des formes comme (avec ) ou .
Avant de commencer
Prérequis
Maîtrise des opérations arithmétiques de base (addition, soustraction, multiplication, division).
Compréhension des nombres relatifs (positifs et négatifs).
Notion de priorité des opérations.
Simplification d'expressions algébriques simples (réduction, développement).
Le plan
Structure du cours
- 1
Introduction aux Équations du Premier Degré
Définition d'une équationTerminologie : inconnue, membre, termePrincipe de l'égalitéUne équation est une égalité comportant une ou plusieurs inconnues.
L'objectif est de trouver la ou les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie.
- 2
Résolution d'Équations Simples
Cas d'une inconnue ajoutée ou soustraiteCas d'une inconnue multipliée ou diviséeEnchaînement d'opérationsUtiliser les opérations inverses pour isoler l'inconnue.
Ce qu'on fait à un membre de l'égalité, on doit le faire à l'autre.
- 3
Résolution d'Équations Plus Complexes
Équations avec parenthèsesÉquations avec des termes en 'x' dans les deux membresÉquations avec des fractionsDévelopper les expressions si nécessaire.
Regrouper les termes similaires.
Éliminer les dénominateurs pour simplifier.
- 4
Types de Solutions
Équation à solution uniqueÉquation sans solutionÉquation à une infinité de solutionsAnalyser la forme de l'équation après simplification.
Reconnaître les cas particuliers.
À retenir
Notions clés
Équation du premier degré à une inconnue
À mémoriserUne égalité de la forme où 'x' est l'inconnue, et 'a', 'b', 'c' sont des nombres connus avec .
L'équation est une équation du premier degré à une inconnue.
Inconnue
À mémoriserLa variable (souvent représentée par 'x') dont on cherche la valeur qui rend l'égalité vraie.
Dans , 'x' est l'inconnue.
Résolution d'une équation
À mémoriserL'ensemble des opérations permettant de trouver la ou les valeurs de l'inconnue qui satisfont l'égalité.
Pour résoudre , on soustrait 5 des deux côtés pour obtenir .
Opérations inverses
À mémoriserLes opérations qui annulent l'effet d'une autre opération (ex: addition et soustraction, multiplication et division).
Pour isoler 'x' dans , on utilise l'opération inverse de la multiplication par 3, qui est la division par 3.
Membre d'une équation
Chacune des expressions séparées par le signe égal.
Dans , est le membre de gauche et est le membre de droite.
Terme d'une équation
Un nombre ou un produit d'un nombre et d'une ou plusieurs lettres, séparé des autres par des signes + ou -.
Dans , les termes sont , et .
En pratique
Exemple résolu
Un commerçant a acheté un certain nombre de stylos identiques. Il a payé 50€ au total. S'il avait acheté 3 stylos de plus, il aurait payé 65€. Quel est le prix d'un stylo et combien en a-t-il acheté ?
- 1
Définir l'inconnue : Soit 'x' le prix d'un stylo et 'n' le nombre de stylos achetés.
- 2
Établir les équations basées sur les informations :
- 3
Cas 1 :
- 4
Cas 2 :
- 5
Développer la deuxième équation :
- 6
Substituer par 50 (valeur de la première équation) :
- 7
Résoudre pour trouver le prix d'un stylo :
- 8
Soustraire 50 des deux membres : =>
- 9
Diviser par 3 : =>
- 10
Le prix d'un stylo est de 5€.
- 11
Trouver le nombre de stylos achetés en utilisant la première équation :
- 12
- 13
Diviser par 5 : =>
- 14
Il a acheté 10 stylos.
- 15
Vérification : Avec 10 stylos à 5€, le coût est . Avec 13 stylos (10+3) à 5€, le coût est . Les conditions sont remplies.
- 16
Résultat : Le prix d'un stylo est 5€ et il en a acheté 10.
Mémoriser plus vite
Astuces & analogies
Isoler l'inconnue
Pensez à une balance en équilibre. Pour la maintenir en équilibre, si vous ajoutez ou retirez quelque chose d'un plateau, vous devez faire exactement la même chose de l'autre côté. Les opérations inverses sont comme enlever ou ajouter des poids pour trouver le poids inconnu.
Développer une expression (distributivité)
Imaginez que vous distribuez des bonbons. Si vous avez 3 sacs, et que dans chaque sac il y a 2 pommes et 4 poires, vous avez . Vous distribuez les 3 sacs à chaque fruit : .
Ne plus se tromper
Erreurs fréquentes
Oublier d'appliquer la même opération des deux côtés de l'égalité.
Chaque fois que vous modifiez un membre de l'équation (en ajoutant, soustrayant, multipliant ou divisant), vous devez impérativement appliquer la MÊME modification à l'autre membre pour conserver l'égalité. Sinon, l'égalité n'est plus vraie.
Faire des erreurs de signe lors du passage d'un terme d'un membre à l'autre.
Quand un terme change de membre, il change de signe. Par exemple, dans , quand on déplace vers la droite, il devient , donnant . Ce n'est pas une règle mystique, c'est juste l'application de l'opération inverse : soustraire 5 des deux côtés.
Mélanger les termes en 'x' et les termes constants.
Il est crucial de regrouper d'un côté tous les termes contenant l'inconnue (les 'x') et de l'autre côté tous les termes constants (les nombres seuls). Par exemple, dans , on soustrait 'x' des deux côtés pour avoir , puis on soustrait 3 pour avoir .
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