Espace Vectoriel

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Espace Vectoriel — mathematiques - Résumé de cours Mathematiques | Tutooris | Tutooris

À retenir

Notions clés

À mémoriser

Un ensemble non vide $E$ sur lequel sont définies deux opérations, l'addition vectorielle et la multiplication par un scalaire (réel ou complexe), et qui satisfait un certain nombre d'axiomes.

Exemple

L'ensemble des vecteurs $\mathbb{R}^2$ munis de l'addition et de la multiplication par un scalaire usuelles.

Sous-espace Vectoriel

À mémoriser

Un sous-ensemble $F$ d'un espace vectoriel $E$ qui est lui-même un espace vectoriel pour les mêmes lois que $E$ . Les conditions pour qu'un sous-ensemble $F$ soit un sous-espace sont : $0_E \in F$ , $F$ est stable par addition, $F$ est stable par multiplication par un scalaire.

Exemple

La droite passant par l'origine dans $\mathbb{R}^2$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$ .

Famille Libre

À mémoriser

Une famille de vecteurs $(v_1, v_2, \dots, v_n)$ est dite libre si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui est égale au vecteur nul est la combinaison où tous les coefficients sont nuls. C'est-à-dire, si $a_1v_1 + a_2v_2 + \dots + a_nv_n = 0$ , alors $a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0$ .

Exemple

Dans $\mathbb{R}^2$ , la famille $(\\begin{pmatrix} 1 \\\ 0 \\\end{pmatrix}, \\begin{pmatrix} 0 \\\ 1 \\\end{pmatrix})$ est libre.

Famille Génératrice

À mémoriser

Une famille de vecteurs $(v_1, v_2, \dots, v_n)$ est dite génératrice d'un espace vectoriel $E$ si tout vecteur de $E$ peut s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de cette famille. On note $E = \text{Vect}(v_1, \dots, v_n)$ .

Exemple

Dans $\mathbb{R}^2$ , la famille $(\\begin{pmatrix} 1 \\\ 0 \\\end{pmatrix}, \\begin{pmatrix} 0 \\\ 1 \\\end{pmatrix})$ est génératrice.

Base d'un Espace Vectoriel

À mémoriser

Une famille de vecteurs qui est à la fois libre et génératrice.

Exemple

Dans $\mathbb{R}^2$ , la famille $(\\begin{pmatrix} 1 \\\ 0 \\\end{pmatrix}, \\begin{pmatrix} 0 \\\ 1 \\\end{pmatrix})$ est une base canonique.

Dimension d'un Espace Vectoriel

À mémoriser

Le nombre de vecteurs dans une base de l'espace vectoriel. Tous les espaces vectoriels de même dimension sont isomorphes.

Exemple

La dimension de $\mathbb{R}^2$ est 2.

Application Linéaire

À mémoriser

Une fonction $f: E \to F$ entre deux espaces vectoriels $E$ et $F$ qui vérifie $f(u+v) = f(u) + f(v)$ et $f(\lambda u) = \lambda f(u)$ pour tous vecteurs $u, v$ de $E$ et tout scalaire $\lambda$ .

Exemple

La fonction $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ définie par $f(\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x \ y \ x+y \end{pmatrix}$ est une application linéaire.

Noyau d'une Application Linéaire

À mémoriser

L'ensemble des vecteurs du domaine dont l'image par l'application est le vecteur nul de l'espace d'arrivée. $\text{Ker}(f) = \{u \in E \mid f(u) = 0_F\}$ . C'est un sous-espace vectoriel de $E$ .

Exemple

Pour $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x-y \ x-y \end{pmatrix}$ , le noyau est la droite d'équation $y=x$ .

Image d'une Application Linéaire

À mémoriser

L'ensemble des vecteurs de l'espace d'arrivée qui sont l'image d'au moins un vecteur de l'espace de départ. $\text{Im}(f) = \{f(u) \mid u \in E\}$ . C'est un sous-espace vectoriel de $F$ .

Exemple

Pour $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x \ 0 \end{pmatrix}$ , l'image est l'axe des abscisses.

Espace Vectoriel — mathematiques

Comprendre le cours

Continuer à réviser

Notion de fonction : images, antécédents et représentation

Prérequis

Structure du cours

Introduction aux Espaces Vectoriels

Sous-espaces Vectoriels

Combinaisons Linéaires, Familles Libres et Liées

Base et Dimension

Applications Linéaires

Notions clés