MathematiquesTerminale

Fonction exponentielle népérienne : propriétés et applications

5 notions clés12 flashcardsMis à jour le 14 mai 2026

Le résumé

Comprendre le cours

La fonction exponentielle népérienne, notée $e^x$ , est définie par sa propriété unique : sa dérivée est elle-même ( $f'=f$ ) et elle vaut 1 en 0 ( $f(0)=1$ ). La base de cette fonction est le nombre de Neper, $e \approx 2.718$ . Elle est toujours positive, strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , avec des limites de 0 en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$ . Ses propriétés clés incluent $e^{x+y} = e^x e^y$ et $e^{-x} = 1/e^x$ . Elle est essentielle pour modéliser les croissances rapides, comme la composition d'intérêts continus, et résout les équations/inéquations par équivalence ( $e^a = e^b \iff a=b$ ).

Avant de commencer

Prérequis

Notions de fonction (définition, ensemble de définition, représentation graphique)
Dérivation : définition, dérivée d'une fonction usuelle (polynôme, $x^n$ )
Limites de fonctions (notamment les limites de référence)
Propriétés des puissances

Le plan

Structure du cours

1
Introduction à la fonction exponentielle népérienne
Définition et notationPropriétés fondamentales
- La fonction exponentielle $f(x) = e^x$ est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $f(0) = 1$ .
- La notation $e$ désigne le nombre de Neper, une constante transcendantale dont la valeur approchée est $2.71828$ .
- Les propriétés clés incluent $e^0 = 1$ , $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ , et $e^{x+y} = e^x e^y$ .
2
Étude de la fonction exponentielle $f(x) = e^x$
Dérivée et tableau de variationsLimite et comportement asymptotiqueReprésentation graphique
- La dérivée de $e^x$ est $e^x$ . La fonction est donc toujours positive et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
- Les limites importantes sont $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ .
- La courbe représentative de $y = e^x$ est située au-dessus de l'axe des abscisses et s'approche de l'axe des abscisses lorsque $x \to -\infty$ .
3
Applications et résolutions d'équations/inéquations
Équations et inéquations avec exponentiellesModélisation de phénomènes
- Résoudre $e^a = e^b$ revient à résoudre $a=b$ .
- Résoudre $e^a \leq e^b$ revient à résoudre $a \leq b$ .
- La fonction exponentielle est utilisée pour modéliser des croissances (ex: population, intérêts composés) ou décroissances (ex: désintégration radioactive) rapides.

À retenir

Notions clés

Fonction exponentielle népérienne

À mémoriser

La fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1$ . Elle est notée $f(x) = e^x$ ou $f(x) = \exp(x)$ .

Exemple

La population d'une bactérie peut croître selon une loi exponentielle $P(t) = P_0 e^{kt}$ où $P_0$ est la population initiale, $k$ une constante positive, et $t$ le temps.

Nombre de Neper ($e$)

À mémoriser

Constante mathématique fondamentale, base du logarithme népérien. C'est un nombre irrationnel et transcendantal, dont la valeur approchée est $e \approx 2.71828$ .

Exemple

La croissance de la population de bactéries est modélisée par $P(t) = P_0 e^{kt}$ . La présence du nombre $e$ est caractéristique de ce type de croissance.

Propriétés de l'exponentielle

À mémoriser

Pour tous réels $x$ et $y$ , on a : $e^x > 0$ , $e^0 = 1$ , $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ , $e^{x+y} = e^x e^y$ , $e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}$ , $(e^x)^n = e^{nx}$ pour $n \in \mathbb{Z}$ .

Exemple

$e^{2x} = (e^x)^2$ . Si $e^x = 5$ , alors $e^{2x} = 5^2 = 25$ .

Dérivée de la fonction exponentielle

À mémoriser

La dérivée de la fonction $f(x) = e^x$ est $f'(x) = e^x$ .

Exemple

Si $f(x) = e^x + x^2$ , alors $f'(x) = e^x + 2x$ . La pente de la tangente à la courbe de $y=e^x$ au point d'abscisse $a$ est $e^a$ .

Équations et inéquations avec exponentielles

À mémoriser

La fonction exponentielle $f(x)=e^x$ étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , pour tous réels $a$ et $b$ , $e^a = e^b \iff a=b$ et $e^a \leq e^b \iff a \leq b$ .

Exemple

Pour résoudre $e^{2x-1} = e^5$ , on résout $2x-1 = 5$ , ce qui donne $x=3$ . Pour résoudre $e^{x^2} \leq e^2$ , on résout $x^2 \leq 2$ , donc $-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$ .

En pratique

Exemple résolu

Un capital de 1000 € est placé à un taux d'intérêt annuel de 5%. On souhaite modéliser l'évolution de ce capital en utilisant la fonction exponentielle pour un placement continu.

1
Identifier la formule de croissance continue : $C(t) = C_0 e^{rt}$ , où $C(t)$ est le capital au temps $t$ , $C_0$ le capital initial, $r$ le taux d'intérêt annuel (en décimal) et $t$ le temps en années.
2
Appliquer les données du problème : $C_0 = 1000$ € et $r = 0.05$ . La formule devient $C(t) = 1000 e^{0.05t}$ .
3
Calculer le capital après 10 ans : $C(10) = 1000 e^{0.05 \times 10} = 1000 e^{0.5}$ .
4
Calculer la valeur approchée : $e^{0.5} \approx 1.6487$ . Donc, $C(10) \approx 1000 \times 1.6487 = 1648.7$ €.

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

La croissance exponentielle

Imaginez une boule de neige qui dévale une pente : plus elle est grosse (plus la valeur $e^x$ est grande), plus elle ramasse de neige à chaque tour (sa taille augmente de plus en plus vite). La croissance de $e^x$ est auto-entretenue.

La dérivée de $e^x$ est $e^x$

Pensez à un 'auto-reproduiseur' mathématique. La fonction $e^x$ est la seule (à une constante près) dont le taux de changement (sa dérivée) est exactement égal à sa valeur actuelle. C'est comme une population qui se reproduit à un rythme proportionnel à sa taille.

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre $e^x$ et $x^e$ .

Dans $e^x$ , la variable $x$ est à l'exposant, et la base est la constante $e$ . Dans $x^e$ , la base est la variable $x$ et l'exposant est la constante $e$ . Leurs comportements et leurs dérivées sont différents. La dérivée de $e^x$ est $e^x$ , tandis que la dérivée de $x^e$ (pour $e$ fixe) est $e x^{e-1}$ (règle de la puissance).

Utiliser la fonction exponentielle à tort et à travers pour modéliser toute croissance.

La croissance exponentielle $e^x$ modélise des croissances (ou décroissances) très rapides où le taux de changement est proportionnel à la quantité présente. Elle est souvent limitée dans le temps ou par des facteurs externes (ressources, capacité, etc.). D'autres modèles (logistique, linéaire) peuvent être plus appropriés selon le contexte.

Oublier que $e^x$ est toujours positive.

Pour tout réel $x$ , $e^x > 0$ . Cela signifie qu'une quantité modélisée par une exponentielle ne peut pas devenir nulle ou négative. Par exemple, une population ne peut pas être négative.

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Ce chapitre explore la composition de fonctions, où l'on applique une fonction au résultat d'une autre ($$(f \circ g)(x) = f(g(x))$$). Il révise ensui...

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Dérivation : définition, dérivée d'une fonction usuelle (polynôme, $x^n$ )
Limites de fonctions (notamment les limites de référence)
Propriétés des puissances

Le plan

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1
Introduction à la fonction exponentielle népérienne
Définition et notationPropriétés fondamentales
- La fonction exponentielle $f(x) = e^x$ est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $f(0) = 1$ .
- La notation $e$ désigne le nombre de Neper, une constante transcendantale dont la valeur approchée est $2.71828$ .
- Les propriétés clés incluent $e^0 = 1$ , $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ , et $e^{x+y} = e^x e^y$ .
2
Étude de la fonction exponentielle $f(x) = e^x$
Dérivée et tableau de variationsLimite et comportement asymptotiqueReprésentation graphique
- La dérivée de $e^x$ est $e^x$ . La fonction est donc toujours positive et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
- Les limites importantes sont $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ .
- La courbe représentative de $y = e^x$ est située au-dessus de l'axe des abscisses et s'approche de l'axe des abscisses lorsque $x \to -\infty$ .
3
Applications et résolutions d'équations/inéquations
Équations et inéquations avec exponentiellesModélisation de phénomènes
- Résoudre $e^a = e^b$ revient à résoudre $a=b$ .
- Résoudre $e^a \leq e^b$ revient à résoudre $a \leq b$ .
- La fonction exponentielle est utilisée pour modéliser des croissances (ex: population, intérêts composés) ou décroissances (ex: désintégration radioactive) rapides.

À retenir

Notions clés

Fonction exponentielle népérienne

À mémoriser

La fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1$ . Elle est notée $f(x) = e^x$ ou $f(x) = \exp(x)$ .

Exemple

La population d'une bactérie peut croître selon une loi exponentielle $P(t) = P_0 e^{kt}$ où $P_0$ est la population initiale, $k$ une constante positive, et $t$ le temps.

Nombre de Neper ($e$)

À mémoriser

Constante mathématique fondamentale, base du logarithme népérien. C'est un nombre irrationnel et transcendantal, dont la valeur approchée est $e \approx 2.71828$ .

Exemple

La croissance de la population de bactéries est modélisée par $P(t) = P_0 e^{kt}$ . La présence du nombre $e$ est caractéristique de ce type de croissance.

Propriétés de l'exponentielle

À mémoriser

Pour tous réels $x$ et $y$ , on a : $e^x > 0$ , $e^0 = 1$ , $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ , $e^{x+y} = e^x e^y$ , $e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}$ , $(e^x)^n = e^{nx}$ pour $n \in \mathbb{Z}$ .

Exemple

$e^{2x} = (e^x)^2$ . Si $e^x = 5$ , alors $e^{2x} = 5^2 = 25$ .

Dérivée de la fonction exponentielle

À mémoriser

La dérivée de la fonction $f(x) = e^x$ est $f'(x) = e^x$ .

Exemple

Si $f(x) = e^x + x^2$ , alors $f'(x) = e^x + 2x$ . La pente de la tangente à la courbe de $y=e^x$ au point d'abscisse $a$ est $e^a$ .

Équations et inéquations avec exponentielles

À mémoriser

La fonction exponentielle $f(x)=e^x$ étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , pour tous réels $a$ et $b$ , $e^a = e^b \iff a=b$ et $e^a \leq e^b \iff a \leq b$ .

Exemple

Pour résoudre $e^{2x-1} = e^5$ , on résout $2x-1 = 5$ , ce qui donne $x=3$ . Pour résoudre $e^{x^2} \leq e^2$ , on résout $x^2 \leq 2$ , donc $-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$ .

En pratique

Exemple résolu

Un capital de 1000 € est placé à un taux d'intérêt annuel de 5%. On souhaite modéliser l'évolution de ce capital en utilisant la fonction exponentielle pour un placement continu.

1
Identifier la formule de croissance continue : $C(t) = C_0 e^{rt}$ , où $C(t)$ est le capital au temps $t$ , $C_0$ le capital initial, $r$ le taux d'intérêt annuel (en décimal) et $t$ le temps en années.
2
Appliquer les données du problème : $C_0 = 1000$ € et $r = 0.05$ . La formule devient $C(t) = 1000 e^{0.05t}$ .
3
Calculer le capital après 10 ans : $C(10) = 1000 e^{0.05 \times 10} = 1000 e^{0.5}$ .
4
Calculer la valeur approchée : $e^{0.5} \approx 1.6487$ . Donc, $C(10) \approx 1000 \times 1.6487 = 1648.7$ €.

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

La croissance exponentielle

La dérivée de $e^x$ est $e^x$

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre $e^x$ et $x^e$ .

Utiliser la fonction exponentielle à tort et à travers pour modéliser toute croissance.

Oublier que $e^x$ est toujours positive.

Pour tout réel $x$ , $e^x > 0$ . Cela signifie qu'une quantité modélisée par une exponentielle ne peut pas devenir nulle ou négative. Par exemple, une population ne peut pas être négative.

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Nombre de Neper ($e$)

Propriétés de l'exponentielle

Dérivée de la fonction exponentielle

Équations et inéquations avec exponentielles

Exemple résolu

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La croissance exponentielle

La dérivée de $e^x$ est $e^x$

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Introduction à la fonction exponentielle népérienne

Étude de la fonction exponentielle $f(x) = e^x$

Applications et résolutions d'équations/inéquations

Notions clés

Fonction exponentielle népérienne

Nombre de Neper ($e$)

Propriétés de l'exponentielle

Dérivée de la fonction exponentielle

Équations et inéquations avec exponentielles

Exemple résolu

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La croissance exponentielle

La dérivée de $e^x$ est $e^x$

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