MathematiquesTerminale

Logarithme népérien : définition, propriétés et analyse

4 notions clés15 flashcardsMis à jour le 27 mai 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Le logarithme népérien, noté $\ln$ , est la fonction réciproque de l'exponentielle $.e^x$ . Il est défini sur $(0; +\infty)$ . Sa dérivée est $\ln'(x) = 1/x$ , ce qui implique que $\ln$ est strictement croissante. Ses limites importantes sont $\lim_{x \\to +\\\infty} \ln(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ . Les propriétés clés sont $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ , $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$ et $\ln(a^n) = n \ln(a)$ . Ces propriétés permettent de simplifier des expressions et de résoudre des équations et inéquations en utilisant l'injectivité de la fonction $\ln$ .

Avant de commencer

Prérequis

Fonction exponentielle (définition, propriétés, dérivée, limites)
Dérivation de fonctions (règles de base, fonction composée)
Limites de fonctions
Résolution d'équations et inéquations simples

Le plan

Structure du cours

1
Introduction à la Fonction Logarithme Népérien
Définition et ExistencePropriétés Fondamentales
- Le logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
- Il est défini pour tout nombre réel strictement positif.
2
Étude de la Fonction Logarithme Népérien
Dérivée et Sens de VariationLimites et AsymptotesCourbe Représentative
- La dérivée de $ln(x)$ est $1/x$ pour $x > 0$
- Le logarithme népérien tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ et vers $-\infty$ quand $x$ tend vers 0 par valeurs positives.
3
Propriétés Algébriques du Logarithme Népérien
Logarithme d'un ProduitLogarithme d'un QuotientLogarithme d'une PuissanceChangement de Base
- Les propriétés algébriques permettent de simplifier des expressions logarithmiques.
- Ces propriétés découlent directement de celles de la fonction exponentielle.
4
Équations et Inéquations avec le Logarithme Népérien
Résolution d'ÉquationsRésolution d'Inéquations
- Utilisation de l'injectivité de la fonction ln pour résoudre des équations.
- Prise en compte du sens de variation pour résoudre des inéquations.
5
Applications du Logarithme Népérien
Modélisation de PhénomènesDérivation de Fonctions Composées Impliquant ln
- Le logarithme est utilisé pour modéliser des phénomènes de croissance ou de décroissance.
- La règle de dérivation des fonctions composées est essentielle.

À retenir

Notions clés

Fonction Logarithme Népérien ($$ln$$)

À mémoriser

La fonction $\ln$ est la fonction définie sur $(0; +\infty)$ telle que pour tout $x > 0$ , $\ln(x)$ est l'unique réel $\alpha$ vérifiant $e^\alpha = x$ . Elle est la fonction réciproque de la fonction exponentielle $.$e^x$ .

Exemple

Comme $e^2 \approx 7.389$ , alors $\ln(7.389) \approx 2$ . De même, $\ln(1) = 0$ car $e^0 = 1$ , et $\ln(e) = 1$ car $e^1 = e$ .

Propriétés Algébriques

À mémoriser

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ , on a : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ , $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$ , $\ln(a^n) = n \ln(a)$ pour tout entier $n$ .

Exemple

Simplifier $\ln(x^2)$ pour $x > 0$ donne $2\ln(x)$ . Résoudre $\ln(x) + \ln(2) = \ln(6)$ revient à $\ln(2x) = \ln(6)$ , donc $2x=6$ et $x=3$ .

Dérivée du Logarithme Népérien

À mémoriser

Pour tout $x > 0$ , la dérivée de la fonction $\ln$ est $\ln'(x) = \frac{1}{x}$ .

Exemple

La fonction $f(x) = \ln(x^2+1)$ a pour dérivée $f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées.

Limites du Logarithme Népérien

À mémoriser

$\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$$ et$ \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$$.

Exemple

Ces limites sont importantes pour étudier le comportement d'une fonction au voisinage de $+\infty$ ou de $0$ , et pour identifier d'éventuelles asymptotes.

En pratique

Exemple résolu

Étudier les variations de la fonction $f(x) = x \ln(x)$ sur $(0; +\infty)$ et trouver son minimum.

1
Étape 1 : Calculer la dérivée de $f(x)$ . En utilisant la règle du produit et la dérivée de $\ln(x)$ , on obtient $f'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$ .
2
Étape 2 : Étudier le signe de la dérivée $f'(x)$ . $f'(x) = 0$ si $\ln(x) + 1 = 0$ , ce qui équivaut à $\ln(x) = -1$ , donc $x = e^{-1} = 1/e$ .
3
Étape 3 : Déterminer le tableau de signes de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f(x)$ . On sait que $\ln(x)$ est croissante. Donc $\ln(x) < -1$ pour $0 < x < 1/e$ (donc $f'(x) < 0$ ) et $\ln(x) > -1$ pour $x > 1/e$ (donc $f'(x) > 0$ ). $f(x)$ est décroissante sur $(0; 1/e]$ et croissante sur $\=[1/e; +\infty)$ .
4
Résultat : La fonction $f(x)$ admet un minimum en $x = 1/e$ . La valeur de ce minimum est $f(1/e) = \frac{1}{e} \ln(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (-1) = -\frac{1}{e}$ . Il y a une asymptote verticale à l'origine ( $x=0$ ).

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

La définition de $$\ln(x)$$ comme l'inverse de $$e^x$$

Pensez au logarithme népérien comme la 'puissance cachée' à laquelle il faut élever $e$ pour obtenir $x$ . Par exemple, $\ln(e^3) = 3$ car $e$ élevé à la puissance $3$ donne $e^3$ . C'est l'idée de 'défaire' l'exponentielle.

Les propriétés algébriques du logarithme ($$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$$)

C'est comme la 'logique des exposants' inversée. Quand on multiplie des puissances de même base, on additionne les exposants ( $x^a \\\cdot x^b = x^{a+b}$ ). Le logarithme fait l'inverse : le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes.

La dérivée $$\ln'(x) = 1/x$$

Imaginez que la 'vitesse de croissance' du logarithme est plus rapide quand $x$ est petit (la pente est grande) et plus lente quand $x$ est grand (la pente est faible). La formule $1/x$ capture bien cela : $1/x$ est grand pour petit $x$ et petit pour grand $x$ .

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre $\ln(x+y)$ avec $\ln(x) + \ln(y)$ .

Il n'y a pas de simplification pour $\ln(x+y)$ . La propriété est $\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)$ . Rappelez-vous : 'le produit fait la somme' pour les logarithmes, pas la somme.

Oublier la condition $x > 0$ pour $\ln(x)$ .

La fonction $\ln(x)$ n'est définie que pour les nombres strictement positifs. Lors de la résolution d'équations ou d'inéquations, il faut toujours vérifier que les solutions trouvées appartiennent au domaine de définition $(0; +\infty)$ . Par exemple, $\ln(x) = -1$ a pour solution $x = 1/e$ qui est positive, mais $\ln(x) = \ln(-2)$ n'a pas de solution car $-2$ n'est pas dans le domaine de $\ln$ .

Erreur sur le signe des limites ou la dérivée.

La fonction $\ln(x)$ est strictement croissante. Donc, quand $x $augmente,$ \ln(x) $augmente.$ \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty $et$ \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty $. La dérivée$ \ln'(x) = 1/x $est positive pour$ x > 0$$, ce qui confirme le sens de variation croissant.

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Dérivation de fonctions (règles de base, fonction composée)
Limites de fonctions
Résolution d'équations et inéquations simples

Le plan

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1
Introduction à la Fonction Logarithme Népérien
Définition et ExistencePropriétés Fondamentales
- Le logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
- Il est défini pour tout nombre réel strictement positif.
2
Étude de la Fonction Logarithme Népérien
Dérivée et Sens de VariationLimites et AsymptotesCourbe Représentative
- La dérivée de $ln(x)$ est $1/x$ pour $x > 0$
- Le logarithme népérien tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ et vers $-\infty$ quand $x$ tend vers 0 par valeurs positives.
3
Propriétés Algébriques du Logarithme Népérien
Logarithme d'un ProduitLogarithme d'un QuotientLogarithme d'une PuissanceChangement de Base
- Les propriétés algébriques permettent de simplifier des expressions logarithmiques.
- Ces propriétés découlent directement de celles de la fonction exponentielle.
4
Équations et Inéquations avec le Logarithme Népérien
Résolution d'ÉquationsRésolution d'Inéquations
- Utilisation de l'injectivité de la fonction ln pour résoudre des équations.
- Prise en compte du sens de variation pour résoudre des inéquations.
5
Applications du Logarithme Népérien
Modélisation de PhénomènesDérivation de Fonctions Composées Impliquant ln
- Le logarithme est utilisé pour modéliser des phénomènes de croissance ou de décroissance.
- La règle de dérivation des fonctions composées est essentielle.

À retenir

Notions clés

Fonction Logarithme Népérien ($$ln$$)

À mémoriser

Exemple

Comme $e^2 \approx 7.389$ , alors $\ln(7.389) \approx 2$ . De même, $\ln(1) = 0$ car $e^0 = 1$ , et $\ln(e) = 1$ car $e^1 = e$ .

Propriétés Algébriques

À mémoriser

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ , on a : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ , $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$ , $\ln(a^n) = n \ln(a)$ pour tout entier $n$ .

Exemple

Simplifier $\ln(x^2)$ pour $x > 0$ donne $2\ln(x)$ . Résoudre $\ln(x) + \ln(2) = \ln(6)$ revient à $\ln(2x) = \ln(6)$ , donc $2x=6$ et $x=3$ .

Dérivée du Logarithme Népérien

À mémoriser

Pour tout $x > 0$ , la dérivée de la fonction $\ln$ est $\ln'(x) = \frac{1}{x}$ .

Exemple

La fonction $f(x) = \ln(x^2+1)$ a pour dérivée $f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées.

Limites du Logarithme Népérien

À mémoriser

$\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$$ et$ \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$$.

Exemple

Ces limites sont importantes pour étudier le comportement d'une fonction au voisinage de $+\infty$ ou de $0$ , et pour identifier d'éventuelles asymptotes.

En pratique

Exemple résolu

Étudier les variations de la fonction $f(x) = x \ln(x)$ sur $(0; +\infty)$ et trouver son minimum.

1
Étape 1 : Calculer la dérivée de $f(x)$ . En utilisant la règle du produit et la dérivée de $\ln(x)$ , on obtient $f'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$ .
2
Étape 2 : Étudier le signe de la dérivée $f'(x)$ . $f'(x) = 0$ si $\ln(x) + 1 = 0$ , ce qui équivaut à $\ln(x) = -1$ , donc $x = e^{-1} = 1/e$ .
3
Étape 3 : Déterminer le tableau de signes de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f(x)$ . On sait que $\ln(x)$ est croissante. Donc $\ln(x) < -1$ pour $0 < x < 1/e$ (donc $f'(x) < 0$ ) et $\ln(x) > -1$ pour $x > 1/e$ (donc $f'(x) > 0$ ). $f(x)$ est décroissante sur $(0; 1/e]$ et croissante sur $\=[1/e; +\infty)$ .
4
Résultat : La fonction $f(x)$ admet un minimum en $x = 1/e$ . La valeur de ce minimum est $f(1/e) = \frac{1}{e} \ln(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (-1) = -\frac{1}{e}$ . Il y a une asymptote verticale à l'origine ( $x=0$ ).

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Astuces & analogies

La définition de $$\ln(x)$$ comme l'inverse de $$e^x$$

Les propriétés algébriques du logarithme ($$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$$)

La dérivée $$\ln'(x) = 1/x$$

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Confondre $\ln(x+y)$ avec $\ln(x) + \ln(y)$ .

Il n'y a pas de simplification pour $\ln(x+y)$ . La propriété est $\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)$ . Rappelez-vous : 'le produit fait la somme' pour les logarithmes, pas la somme.

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La définition de $$\ln(x)$$ comme l'inverse de $$e^x$$

Les propriétés algébriques du logarithme ($$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$$)

La dérivée $$\ln'(x) = 1/x$$

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Étude de la Fonction Logarithme Népérien

Propriétés Algébriques du Logarithme Népérien

Équations et Inéquations avec le Logarithme Népérien

Applications du Logarithme Népérien

Notions clés

Fonction Logarithme Népérien ($$ln$$)

Propriétés Algébriques

Dérivée du Logarithme Népérien

Limites du Logarithme Népérien

Exemple résolu

Astuces & analogies

La définition de $$\ln(x)$$ comme l'inverse de $$e^x$$

Les propriétés algébriques du logarithme ($$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$$)

La dérivée $$\ln'(x) = 1/x$$

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