MathematiqueTerminale

Fonction ln : propriétés et résolution d'équations

3 notions clés15 flashcardsMis à jour le 14 mai 2026

Le résumé

Comprendre le cours

La fonction logarithme népérien, notée $\ln(x)$ , est la fonction réciproque de l'exponentielle $e^x$ . Elle est définie pour tout $x$ strictement positif ( $x > 0$ ). Sa dérivée est $\frac{1}{x}$ et elle est strictement croissante. Les limites clés sont $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ . Ses propriétés algébriques fondamentales sont : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ , $\ln(\\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ , et $\ln(a^n) = n \ln(a)$ . Ces propriétés sont essentielles pour résoudre des équations et inéquations impliquant des logarithmes, en n'oubliant jamais de vérifier les conditions d'existence des arguments.

Avant de commencer

Prérequis

Fonctions : domaine de définition, signe, sens de variation, limites, dérivée, primitive.
Fonction exponentielle : définition, propriétés, représentation graphique.
Règles de calcul sur les puissances.
Résolution d'équations et d'inéquations simples.

Le plan

Structure du cours

1
Introduction à la fonction logarithme népérien
Définition et motivationPropriétés fondamentales
- Le logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
- Il est défini comme l'unique primitive de $f(x) = \frac{1}{x}$ qui s'annule en $x=1$ .
2
Étude de la fonction logarithme népérien : $f(x) = \ln(x)$
Domaine de définitionSigne de la fonctionSens de variationLimites aux bornes du domaineDérivée et tableau de variations
- Le domaine de définition est $\mathbb{R}_+^*$ (les réels strictement positifs).
- $\ln(x) > 0$ pour $x > 1$ , $\ln(x) < 0$ pour $0 < x < 1$ , et $\ln(1) = 0$ .
- La fonction $\ln(x)$ est strictement croissante sur son domaine de définition.
- Les limites importantes sont : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ .
3
Propriétés algébriques du logarithme népérien
Relation avec l'exponentiellePropriétés des opérations : produit, quotient, puissanceChangement de base (facultatif en terminale générale, mais utile)
- $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $e^{\ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$ (définition de la réciprocité).
- Propriétés fondamentales : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ , $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ , $\ln(a^n) = n \ln(a)$ pour $a, b > 0$ et $n \in \mathbb{Z}$ .
- Il est crucial de maîtriser ces propriétés pour simplifier des expressions et résoudre des équations/inéquations.
4
Applications : résolution d'équations et d'inéquations
Équations avec logarithmeInéquations avec logarithmeUtilisation des propriétés pour simplifier
- Pour résoudre $\ln(A) = \ln(B)$ , on résout $A=B$ en vérifiant que les arguments sont strictement positifs.
- Pour résoudre $\ln(A) = k$ , on utilise la forme exponentielle : $A = e^k$ , en vérifiant que $A > 0$ .
- L'utilisation des propriétés algébriques permet souvent de transformer une équation/inéquation complexe en une forme plus simple.

À retenir

Notions clés

Logarithme népérien

À mémoriser

La fonction $f(x) = \ln(x)$ est définie pour tout $x > 0$ , est la fonction réciproque de la fonction exponentielle $e^x$ . C'est aussi l'unique primitive de la fonction $g(x) = \frac{1}{x}$ qui s'annule en $x=1$ .

Exemple

Calculer $\ln(e^3) = 3$ et $e^{\ln(5)} = 5$ .

Propriétés fondamentales

À mémoriser

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ , et tout entier $n \in \mathbb{Z}$ : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ , $\ln(\\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ , $\ln(a^n) = n \ln(a)$ . La dérivée de $\ln(x)$ est $\frac{1}{x}$ pour $x>0$ .

Exemple

Simplifier $\ln(x^2) - \ln(x) = 2\ln(x) - \ln(x) = \ln(x)$ pour $x>0$ .

Relation avec la fonction exponentielle

À mémoriser

Les fonctions $\ln$ et $exp$ sont réciproques l'une de l'autre. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $\exp(\ln(x)) = x$ et pour tout $x > 0$ , $\ln(\exp(x)) = x$ .

Exemple

Résoudre $\ln(2x+1) = 3$ en appliquant l'exponentielle des deux côtés : $\exp(\ln(2x+1)) = \exp(3) \implies 2x+1 = e^3$ .

En pratique

Exemple résolu

Résoudre l'équation $\ln(x^2 - 3x + 2) = \ln(x-1)$ dans $\mathbb{R}$ .

1
Étape 1 : Déterminer les conditions d'existence. Les arguments des logarithmes doivent être strictement positifs : $x^2 - 3x + 2 > 0$ et $x-1 > 0$ .
2
Étape 2 : Résoudre les inéquations. $x-1 > 0 \implies x > 1$ . Pour $x^2 - 3x + 2 > 0$ , les racines sont 1 et 2, donc $(x-1)(x-2) > 0$ ce qui implique $x < 1$ ou $x > 2$ . L'intersection de ces conditions est $x > 2$ .
3
Étape 3 : Résoudre l'équation en égalant les arguments. $x^2 - 3x + 2 = x - 1$ . Cela donne $x^2 - 4x + 3 = 0$ . Les racines sont $x=1$ et $x=3$ .
4
Résultat : Parmi les solutions $x=1$ et $x=3$ , seule $x=3$ vérifie la condition d'existence $x > 2$ . Donc, la solution unique est $x=3$ .

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Les propriétés du logarithme (produit, quotient, puissance)

Pensez à des règles similaires pour les exposants : $a^m \times a^n = a^{m+n}$ , $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ , $(a^m)^n = a^{mn}$ . Le logarithme transforme les multiplications/divisions en additions/soustractions et les puissances en multiplications, ce qui simplifie beaucoup les calculs. C'est comme une 'traduction' entre différentes opérations.

Le signe de $\ln(x)$

La fonction $\ln(x)$ est 'négative' avant 1 (où elle 'descend' vers $-\infty$ en partant de 0) et 'positive' après 1 (où elle 'monte' vers $+\infty$ ). Rappellez-vous que $\ln(1)=0$ . Les valeurs entre 0 et 1 donnent un logarithme négatif (ex: $\ln(0.5) \approx -0.69$ ), et les valeurs supérieures à 1 donnent un logarithme positif (ex: $\ln(2) \approx 0.69$ ).

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier les conditions d'existence des arguments des logarithmes lors de la résolution d'équations ou d'inéquations.

Avant de manipuler une équation ou inéquation contenant des logarithmes comme $\ln(A) = \ln(B)$ ou $\ln(A) > k$ , il est impératif de s'assurer que $A > 0$ et $B > 0$ (ou juste A>0 si un seul argument). La solution trouvée doit ensuite être vérifiée par rapport à ces conditions initiales. Par exemple, résoudre $\ln(x) = \ln(-1)$ sans vérifier que $-1$ n'est pas dans le domaine de $\ln$ mène à une erreur.

Confondre les propriétés du logarithme avec celles de la fonction exponentielle ou d'autres fonctions.

Les propriétés clés sont : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ et non $\ln(a+b) = \ln(a) + \ln(b)$ . De même, $\ln(a^n) = n \ln(a)$ , pas $\ln(a^n) = (\ln(a))^n$ . Faites bien attention à bien appliquer les bonnes règles de transformation.

Appliquer directement les propriétés algébriques sans considérer le domaine de définition.

Par exemple, l'égalité $\ln(a^2) = 2 \ln(a)$ n'est vraie que si $a > 0$ . Si l'on considère $a$ qui peut être négatif, il faut écrire $\ln(a^2) = 2 \ln(|a|)$ , car $a^2$ est toujours positif pour $a \neq 0$ , mais $\ln(a)$ n'est défini que pour $a > 0$ . En terminale, on se concentre souvent sur les arguments positifs pour simplifier, mais c'est une subtilité importante à garder à l'esprit.

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1
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Définition et motivationPropriétés fondamentales
- Le logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
- Il est défini comme l'unique primitive de $f(x) = \frac{1}{x}$ qui s'annule en $x=1$ .
2
Étude de la fonction logarithme népérien : $f(x) = \ln(x)$
Domaine de définitionSigne de la fonctionSens de variationLimites aux bornes du domaineDérivée et tableau de variations
- Le domaine de définition est $\mathbb{R}_+^*$ (les réels strictement positifs).
- $\ln(x) > 0$ pour $x > 1$ , $\ln(x) < 0$ pour $0 < x < 1$ , et $\ln(1) = 0$ .
- La fonction $\ln(x)$ est strictement croissante sur son domaine de définition.
- Les limites importantes sont : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ .
3
Propriétés algébriques du logarithme népérien
Relation avec l'exponentiellePropriétés des opérations : produit, quotient, puissanceChangement de base (facultatif en terminale générale, mais utile)
- $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $e^{\ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$ (définition de la réciprocité).
- Propriétés fondamentales : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ , $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ , $\ln(a^n) = n \ln(a)$ pour $a, b > 0$ et $n \in \mathbb{Z}$ .
- Il est crucial de maîtriser ces propriétés pour simplifier des expressions et résoudre des équations/inéquations.
4
Applications : résolution d'équations et d'inéquations
Équations avec logarithmeInéquations avec logarithmeUtilisation des propriétés pour simplifier
- Pour résoudre $\ln(A) = \ln(B)$ , on résout $A=B$ en vérifiant que les arguments sont strictement positifs.
- Pour résoudre $\ln(A) = k$ , on utilise la forme exponentielle : $A = e^k$ , en vérifiant que $A > 0$ .
- L'utilisation des propriétés algébriques permet souvent de transformer une équation/inéquation complexe en une forme plus simple.

À retenir

Notions clés

Logarithme népérien

À mémoriser

Exemple

Calculer $\ln(e^3) = 3$ et $e^{\ln(5)} = 5$ .

Propriétés fondamentales

À mémoriser

Exemple

Simplifier $\ln(x^2) - \ln(x) = 2\ln(x) - \ln(x) = \ln(x)$ pour $x>0$ .

Relation avec la fonction exponentielle

À mémoriser

Les fonctions $\ln$ et $exp$ sont réciproques l'une de l'autre. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $\exp(\ln(x)) = x$ et pour tout $x > 0$ , $\ln(\exp(x)) = x$ .

Exemple

Résoudre $\ln(2x+1) = 3$ en appliquant l'exponentielle des deux côtés : $\exp(\ln(2x+1)) = \exp(3) \implies 2x+1 = e^3$ .

En pratique

Exemple résolu

Résoudre l'équation $\ln(x^2 - 3x + 2) = \ln(x-1)$ dans $\mathbb{R}$ .

1
Étape 1 : Déterminer les conditions d'existence. Les arguments des logarithmes doivent être strictement positifs : $x^2 - 3x + 2 > 0$ et $x-1 > 0$ .
2
Étape 2 : Résoudre les inéquations. $x-1 > 0 \implies x > 1$ . Pour $x^2 - 3x + 2 > 0$ , les racines sont 1 et 2, donc $(x-1)(x-2) > 0$ ce qui implique $x < 1$ ou $x > 2$ . L'intersection de ces conditions est $x > 2$ .
3
Étape 3 : Résoudre l'équation en égalant les arguments. $x^2 - 3x + 2 = x - 1$ . Cela donne $x^2 - 4x + 3 = 0$ . Les racines sont $x=1$ et $x=3$ .
4
Résultat : Parmi les solutions $x=1$ et $x=3$ , seule $x=3$ vérifie la condition d'existence $x > 2$ . Donc, la solution unique est $x=3$ .

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Notions clés

Logarithme népérien

Propriétés fondamentales

Relation avec la fonction exponentielle

Exemple résolu

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Le signe de $\ln(x)$

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Propriétés algébriques du logarithme népérien

Applications : résolution d'équations et d'inéquations

Notions clés

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Relation avec la fonction exponentielle

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Le signe de $\ln(x)$

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