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Intégrales : aire, primitives et calcul

4 notions clés11 flashcardsMis à jour le 9 juin 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Les intégrales sont l'outil mathématique qui permet de calculer l'aire sous une courbe. Elles sont intimement liées aux primitives : une primitive $F$ d'une fonction $f$ est une fonction dont la dérivée est $f$ . L'intégrale définie $\int_a^b f(x)dx$ se calcule grâce au théorème fondamental de l'analyse : $F(b) - F(a)$ . Des techniques comme l'intégration par parties et le changement de variable aident à calculer des intégrales plus complexes. Les intégrales trouvent des applications directes dans le calcul d'aires et de volumes.

Avant de commencer

Prérequis

Connaissance approfondie des fonctions : domaine de définition, continuité, variations.
Maîtrise des techniques de dérivation et connaissance des dérivées des fonctions usuelles.
Notions de limites de fonctions.

Le plan

Structure du cours

1
Introduction aux Intégrales : L'Aire sous la Courbe
Définition intuitive de l'intégraleRelation avec les sommes de Riemann
- L'intégrale comme une mesure de l'aire comprise entre une courbe, l'axe des abscisses et deux droites verticales.
- Approximation de cette aire par une somme de rectangles de plus en plus fins.
2
Primitives d'une Fonction
Définition d'une primitiveEnsemble des primitives d'une fonctionPrimitives de fonctions usuelles
- Une primitive d'une fonction $f$ est une fonction $F$ dont la dérivée est $f$ .
- Si $F$ est une primitive de $f$ , alors toutes les autres primitives de $f$ sont de la forme $F(x) + C$ , où $C$ est une constante réelle.
- Mémorisation des primitives des fonctions de référence.
3
L'Intégrale Définie
Définition formelle de l'intégrale définie (Théorème fondamental de l'analyse)Propriétés de l'intégrale définieCalcul d'intégrales définies
- Le calcul de l'intégrale définie de $f$ entre $a$ et $b$ est donné par $F(b) - F(a)$ , où $F$ est une primitive de $f$ .
- L'intégrale définie est linéaire et vérifie des propriétés d'additivité d'intervalle.
4
Techniques de Calcul d'Intégrales
Intégration par partiesChangement de variableIntégration des fonctions rationnelles (aperçu)
- La formule d'intégration par parties : $\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)dx$
- La technique du changement de variable pour simplifier une intégrale.
5
Applications des Intégrales
Calcul d'aires de surfaces planesCalcul de volumes de solides de révolutionApproximation d'intégrales (méthodes numériques - aperçu)
- Utilisation des intégrales définies pour quantifier des grandeurs géométriques.
- Lien entre l'aire et le volume via l'intégration.

À retenir

Notions clés

Primitive d'une fonction

À mémoriser

Une fonction $F$ est une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$ .

Exemple

Une primitive de $f(x) = 2x$ est $F(x) = x^2$ , car la dérivée de $x^2$ est $2x$ .

Intégrale définie

À mémoriser

Pour une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a, b]$ , l'intégrale définie de $f$ de $a$ à $b$ , notée $\int_a^b f(x)dx$ , est égale à $F(b) - F(a)$ , où $F$ est une primitive de $f$ . Elle représente l'aire algébrique sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$ .

Exemple

L'intégrale de $f(x) = x$ de $0$ à $2$ est $\int_0^2 x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = 2$ .

Théorème fondamental de l'analyse

À mémoriser

Ce théorème établit le lien crucial entre la dérivation et l'intégration. Il stipule que si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $F$ est une primitive de $f$ , alors $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$ .

Exemple

Permet de calculer facilement des aires sans passer par les sommes de Riemann.

Intégration par parties

À mémoriser

Technique de calcul d'intégrale basée sur la formule $\int u dv = uv - \int v du$ . Elle est utile pour intégrer des produits de fonctions.

Exemple

Pour calculer $\int x e^x dx$ , on pose $u=x$ et $dv=e^x dx$ . Alors $du=dx$ et $v=e^x$ . L'intégrale devient $xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$ .

En pratique

Exemple résolu

Calculer l'aire de la région délimitée par la courbe de la fonction $f(x) = x^2$ , l'axe des abscisses et les droites verticales $x=1$ et $x=3$ .

1
Étape 1 : Identifier la fonction et les bornes de l'intégration. Ici, $f(x) = x^2$ , avec les bornes $a=1$ et $b=3$ .
2
Étape 2 : Trouver une primitive de la fonction $f(x) = x^2$ . Une primitive est $F(x) = \frac{x^3}{3}$ .
3
Étape 3 : Appliquer le théorème fondamental de l'analyse pour calculer l'intégrale définie. L'aire est donnée par $\int_1^3 x^2 dx = F(3) - F(1)$ .
4
Étape 4 : Calculer $F(3)$ et $F(1)$ . $F(3) = \frac{3^3}{3} = \frac{27}{3} = 9$ . $F(1) = \frac{1^3}{3} = \frac{1}{3}$ .
5
Résultat : L'aire est $9 - \frac{1}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$ unités carrées.

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Primitive d'une fonction

Pensez à la primitive comme à l'action 'd'annuler' la dérivation. Si la dérivation 'fragmente' une fonction polynomiale en baissant le degré, la primitivation 'reconstruit' en augmentant le degré.

Intégrale définie comme aire

Imaginez peindre la zone sous la courbe. L'intégrale définie mesure la 'quantité de peinture' nécessaire. Si la courbe est en dessous de l'axe des abscisses, on utilise de la 'peinture négative' (on soustrait de l'aire).

Intégration par parties

Mnemonic: 'UnDimethyl' 'Un vieil' 'Diable' 'Vaurien' 'Vêté' 'D'un' 'Vieux' 'Drap'. En anglais: 'LIPET' (Latex: LI = \int u dv, PET = uv - \int v du). Une autre façon est de se souvenir que c'est l'intégration de la règle du produit pour la dérivation.

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Oublier la constante d'intégration $C$ lors du calcul de primitives indéfinies.

Toute fonction $F(x) + C$ est une primitive de $f(x)$ si $F'(x) = f(x)$ . Pour les intégrales indéfinies, il faut TOUJOURS ajouter $+C$ . Pour les intégrales définies, $F(b) + C - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$ , donc le $C$ s'annule.

Confondre l'intégrale indéfinie (primitive) et l'intégrale définie.

L'intégrale indéfinie $\int f(x)dx$ donne une fonction (plus une constante $C$ ). L'intégrale définie $\int_a^b f(x)dx$ donne un nombre réel représentant une aire algébrique.

Erreurs dans l'application de la formule d'intégration par parties (mauvais choix de $u$ et $dv$ ).

Le but de l'intégration par parties est de simplifier l'intégrale. Il faut choisir $u$ de sorte que $u'$ soit plus simple que $u$ (souvent un polynôme), et $dv$ de sorte que $v$ soit facile à calculer et que $\int v du$ soit plus simple que l'intégrale de départ.

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Maîtrise des techniques de dérivation et connaissance des dérivées des fonctions usuelles.
Notions de limites de fonctions.

Le plan

Structure du cours

1
Introduction aux Intégrales : L'Aire sous la Courbe
Définition intuitive de l'intégraleRelation avec les sommes de Riemann
- L'intégrale comme une mesure de l'aire comprise entre une courbe, l'axe des abscisses et deux droites verticales.
- Approximation de cette aire par une somme de rectangles de plus en plus fins.
2
Primitives d'une Fonction
Définition d'une primitiveEnsemble des primitives d'une fonctionPrimitives de fonctions usuelles
- Une primitive d'une fonction $f$ est une fonction $F$ dont la dérivée est $f$ .
- Si $F$ est une primitive de $f$ , alors toutes les autres primitives de $f$ sont de la forme $F(x) + C$ , où $C$ est une constante réelle.
- Mémorisation des primitives des fonctions de référence.
3
L'Intégrale Définie
Définition formelle de l'intégrale définie (Théorème fondamental de l'analyse)Propriétés de l'intégrale définieCalcul d'intégrales définies
- Le calcul de l'intégrale définie de $f$ entre $a$ et $b$ est donné par $F(b) - F(a)$ , où $F$ est une primitive de $f$ .
- L'intégrale définie est linéaire et vérifie des propriétés d'additivité d'intervalle.
4
Techniques de Calcul d'Intégrales
Intégration par partiesChangement de variableIntégration des fonctions rationnelles (aperçu)
- La formule d'intégration par parties : $\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)dx$
- La technique du changement de variable pour simplifier une intégrale.
5
Applications des Intégrales
Calcul d'aires de surfaces planesCalcul de volumes de solides de révolutionApproximation d'intégrales (méthodes numériques - aperçu)
- Utilisation des intégrales définies pour quantifier des grandeurs géométriques.
- Lien entre l'aire et le volume via l'intégration.

À retenir

Notions clés

Primitive d'une fonction

À mémoriser

Une fonction $F$ est une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$ .

Exemple

Une primitive de $f(x) = 2x$ est $F(x) = x^2$ , car la dérivée de $x^2$ est $2x$ .

Intégrale définie

À mémoriser

Exemple

L'intégrale de $f(x) = x$ de $0$ à $2$ est $\int_0^2 x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = 2$ .

Théorème fondamental de l'analyse

À mémoriser

Exemple

Permet de calculer facilement des aires sans passer par les sommes de Riemann.

Intégration par parties

À mémoriser

Technique de calcul d'intégrale basée sur la formule $\int u dv = uv - \int v du$ . Elle est utile pour intégrer des produits de fonctions.

Exemple

Pour calculer $\int x e^x dx$ , on pose $u=x$ et $dv=e^x dx$ . Alors $du=dx$ et $v=e^x$ . L'intégrale devient $xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$ .

En pratique

Exemple résolu

Calculer l'aire de la région délimitée par la courbe de la fonction $f(x) = x^2$ , l'axe des abscisses et les droites verticales $x=1$ et $x=3$ .

1
Étape 1 : Identifier la fonction et les bornes de l'intégration. Ici, $f(x) = x^2$ , avec les bornes $a=1$ et $b=3$ .
2
Étape 2 : Trouver une primitive de la fonction $f(x) = x^2$ . Une primitive est $F(x) = \frac{x^3}{3}$ .
3
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4
Étape 4 : Calculer $F(3)$ et $F(1)$ . $F(3) = \frac{3^3}{3} = \frac{27}{3} = 9$ . $F(1) = \frac{1^3}{3} = \frac{1}{3}$ .
5
Résultat : L'aire est $9 - \frac{1}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$ unités carrées.

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Primitive d'une fonction

Intégrale définie comme aire

Intégration par parties

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Oublier la constante d'intégration $C$ lors du calcul de primitives indéfinies.

Confondre l'intégrale indéfinie (primitive) et l'intégrale définie.

L'intégrale indéfinie $\int f(x)dx$ donne une fonction (plus une constante $C$ ). L'intégrale définie $\int_a^b f(x)dx$ donne un nombre réel représentant une aire algébrique.

Erreurs dans l'application de la formule d'intégration par parties (mauvais choix de $u$ et $dv$ ).

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Primitives d'une Fonction

L'Intégrale Définie

Techniques de Calcul d'Intégrales

Applications des Intégrales

Notions clés

Primitive d'une fonction

Intégrale définie

Théorème fondamental de l'analyse

Intégration par parties

Exemple résolu

Astuces & analogies

Primitive d'une fonction

Intégrale définie comme aire

Intégration par parties

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Notions clés

Primitive d'une fonction

Intégrale définie

Théorème fondamental de l'analyse

Intégration par parties

Exemple résolu

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