La dérivation et ses applications — mathematiques
Le résumé
Comprendre le cours
La dérivation mesure la variation instantanée d’une fonction : le nombre dérivé f′(a) est la limite du taux de variation et correspond à la pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse a. Une fonction est dérivable sur un intervalle si cette limite existe en tout point ; elle est alors continue. Les règles de calcul (somme, produit, quotient, composition) et les dérivées usuelles (x^n, 1/x, √x, e^x, ln x, sin, cos) permettent de dériver rapidement la plupart des fonctions étudiées en Terminale. Le signe de f′ donne le sens de variation de f : f′>0 ⇒ f croît, f′<0 ⇒ f décroît ; les zéros de f′ sont des candidats aux extremums. Le second ordre (f″) renseigne sur la convexité et les points d’inflexion. Les applications majeures sont l’étude complète d’une fonction (tableaux de variations), les tangentes et les problèmes d’optimisation (maximiser un profit, minimiser une distance, etc.).
Avant de commencer
Prérequis
Notion de fonction, courbe représentative, lecture de graphique
Calcul littéral : factoriser, développer, simplifier des fractions
Résolution d’équations et d’inéquations du second degré (tableau de signes)
Limites simples (intuition de h→0) et notion de continuité (niveau attendu en Terminale)
Connaissance des fonctions usuelles : polynômes, 1/x, √x, exp, ln, sin, cos et leurs domaines
Le plan
Structure du cours
- 1
Nombre dérivé et tangente
Taux de variation et limiteInterprétation géométrique : pente de la tangenteLien dérivabilité / continuitéf′(a) est une limite : variation instantanée
La tangente en a a pour pente f′(a) et équation y=f(a)+f′(a)(x−a)
Dérivable ⇒ continue (mais pas l’inverse)
- 2
Calcul de dérivées (règles et fonctions usuelles)
Règles : somme, produit, quotientComposition (chaine)Dérivées usuelles (polynômes, exp, ln, trigo)Savoir choisir la bonne règle de dérivation
Respecter les conditions de domaine (ln, √, quotient)
Automatiser les dérivées usuelles et la chaine
- 3
Variations et extremums
Signe de f′ et sens de variationPoints critiques et tableauxMax/Min sur un intervalle ferméf′>0 ⇒ f croît ; f′<0 ⇒ f décroît
f′(x)=0 donne des candidats aux extremums
Sur [a,b], comparer aussi les valeurs aux bornes
- 4
Convexité et dérivée seconde
Définition de f″Convexe/concave via le signe de f″Point d’inflexionf″≥0 ⇒ convexe ; f″≤0 ⇒ concave
Un point d’inflexion implique un changement de convexité
f″(a)=0 ne suffit pas sans changement de signe
- 5
Applications : tangentes, approximation, optimisation
Équation d’une tangente et lecture graphiqueApproximation affine localeProblèmes d’optimisation (max/min)Utiliser la tangente pour approximer près d’un point
Modéliser une situation par une fonction sur un domaine
Optimiser via l’étude du signe de la dérivée
À retenir
Notions clés
Nombre dérivé f′(a)
À mémoriserLimite du taux de variation : f′(a)=lim_{h→0} (f(a+h)−f(a))/h, si elle existe. Elle mesure la variation instantanée de f en a.
Pour f(x)=x^2, f′(a)=lim_{h→0}((a+h)^2−a^2)/h=lim_{h→0}(2a+h)=2a.
Tangente en a
À mémoriserDroite qui “touche” la courbe en A(a;f(a)) et a pour coefficient directeur f′(a). Son équation est y=f(a)+f′(a)(x−a).
Pour f(x)=ln x en a=1 : f(1)=0 et f′(1)=1 donc la tangente est y=x−1.
Lien signe de f′ / variations
À mémoriserSur un intervalle, si f′>0 alors f est croissante ; si f′<0 alors f est décroissante ; si f′=0 alors f est constante.
Si f′(x)=(x−2)(x+1), alors f′>0 sur (−∞,−1)∪(2,+∞) et f′<0 sur (−1,2) : f croît puis décroît puis croît.
Point critique
À mémoriserValeur x=c dans le domaine où f′(c)=0 ou où f′ n’existe pas. Ce sont des candidats possibles à un extremum.
Pour f(x)=x^3, f′(x)=3x^2, le point critique est x=0 (mais ce n’est pas un extremum).
Dérivée seconde, convexité, point d’inflexion
À mémoriserf″ est la dérivée de f′. Si f″≥0 sur un intervalle, f est convexe ; si f″≤0, f est concave. Un point d’inflexion est un point où la convexité change.
Pour f(x)=x^3 : f″(x)=6x change de signe en 0 ⇒ point d’inflexion en x=0.
Approximation affine (linéarisation locale)
Pour x proche de a : f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a).
Pour e^x en a=0 : e^x≈1+x (utile pour estimer e^{0,02}≈1,02).
En pratique
Exemple résolu
Optimisation classique : on veut fabriquer une boîte sans couvercle en découpant des carrés de côté x dans les coins d’un rectangle 30 cm × 20 cm, puis en relevant les bords. Quel x maximise le volume ?
- 1
Étape 1 : Modéliser. Après découpe, la hauteur vaut x et la base vaut (30−2x) × (20−2x). Domaine : 0<x<10 (sinon 20−2x≤0).
- 2
Étape 2 : Écrire le volume V(x)=x(30−2x)(20−2x)=x(600−100x+4x^2)=600x−100x^2+4x^3.
- 3
Étape 3 : Dériver : V′(x)=600−200x+12x^2. Résoudre V′(x)=0 : 12x^2−200x+600=0, soit 3x^2−50x+150=0. Discriminant Δ=2500−1800=700, donc x=(50±√700)/6=(25±5√7)/3.
- 4
Étape 4 : Choisir la solution dans le domaine : (25+5√7)/3≈12,74 (hors domaine), (25−5√7)/3≈3,93 (dans (0,10)).
- 5
Résultat : Le volume est maximal pour x=(25−5√7)/3≈3,93 cm (on peut conclure en vérifiant que V′ change de signe de + à − autour de ce point, ou en comparant aux bornes du domaine).
Mémoriser plus vite
Astuces & analogies
Nombre dérivé et tangente
Pense à la pente d’une route à l’instant où tu es : la “pente instantanée” de la courbe, c’est f′(a).
Règle du produit (uv)′
« Un dérive, l’autre reste ; puis on échange » : (uv)′ = u′v + uv′.
Règle de la chaine
« Dérivée de l’extérieur × dérivée de l’intérieur » : si y=g(u(x)), alors y′=g′(u(x))·u′(x).
Signe de f′ et variations
Comme une vitesse : f′>0 ⇒ ça avance (ça monte), f′<0 ⇒ ça recule (ça descend).
Point d’inflexion
La courbe change de “forme” : bol → dôme ou dôme → bol. Ce changement correspond à un changement de signe de f″.
Ne plus se tromper
Erreurs fréquentes
Conclure « il y a un maximum/minimum en a » dès qu’on trouve f′(a)=0.
f′(a)=0 signifie seulement que a est un point critique. Il faut étudier le signe de f′ autour de a (ou comparer les valeurs) pour conclure à un extremum.
Oublier le domaine (ex : dériver ln(2x−1) sans préciser 2x−1>0).
Avant toute étude, on fixe le domaine de définition. Pour ln(u), il faut u>0 ; pour une fraction, le dénominateur ≠0 ; pour √u, il faut u≥0 (et la dérivée demande souvent u>0).
Écrire (u/v)′ = u′/v′.
Faux. La formule correcte est (u/v)′=(u′v−uv′)/v^2 (avec v≠0).
Dire « point d’inflexion » dès que f″(a)=0.
Il faut un changement de convexité (souvent vérifié par un changement de signe de f″). f″(a)=0 est seulement un indice.
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