La dérivée : analyse et applications

Dérivée d'une fonction $f$ en un point $a$

À mémoriser

Le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f'(a)$ , est la limite (si elle existe) du taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ quand $x$ tend vers $a$ . Il représente la pente de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ .

Exemple

Pour $f(x) = x^2$ en $a=3$ , $f'(3) = \lim_{x \to 3} \frac{x^2-3^2}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x+3) = 6$ . La pente de la tangente à $y=x^2$ en $x=3$ est 6.

Fonction dérivée

À mémoriser

Pour une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ , la fonction dérivée, notée $f'$ , associe à chaque $x \in I$ la dérivée $f'(x)$ de $f$ en $x$ , si elle existe.

Exemple

Si $f(x) = x^2$ , sa fonction dérivée est $f'(x) = 2x$ . Pour tout $x$ , $f'(x)$ donne la pente de la tangente au point $(x, f(x))$ .

Tangente à une courbe

À mémoriser

L'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $a$ est donnée par $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ , si $f$ est dérivable en $a$ .

Exemple

Pour $f(x) = x^2$ en $a=3$ , on a $f(3)=9$ et $f'(3)=6$ . L'équation de la tangente est $y = 6(x-3) + 9$ , soit $y = 6x - 18 + 9$ , donc $y = 6x - 9$ .

Monotonie d'une fonction

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . Si $f'(x) \ge 0$ pour tout $x \in I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ . Si $f'(x) \le 0$ pour tout $x \in I$ , alors $f$ est décroissante sur $I$ .

Exemple

Pour $f(x) = x^2$ , $f'(x) = 2x$ . Sur $[0, +\infty[$ , $f'(x) \\\ge 0$ , donc $f$ est croissante. Sur $]-\\\infty, 0]$ , $f'(x) \\\le 0$ , donc $f$ est décroissante.", "must_memorize": true } ], "prerequisites": [ "Notion de fonction et de courbe représentative.", "Limites de fonctions (intuition suffisante pour la terminale).", "Comprendre les notions de croissance et décroissance.", "Calcul algébrique simple (factorisation, développement)." ], "practical_example": { "context": "Une entreprise fabrique des objets. Le coût de production de $q$ objets est donné par la fonction $C(q) = 0.1q^2 + 10q + 100$ , où $q$ est le nombre d'objets (en milliers) et $C(q)$ est le coût en milliers d'euros. Déterminer le coût marginal de production pour $q=50$ milliers d'objets.", "step_by_step_solution": [ "Étape 1 : Identifier la fonction coût et la quantité de production donnée. Ici, $C(q) = 0.1q^2 + 10q + 100$ et $q=50$ .", "Étape 2 : Calculer la fonction dérivée du coût, qui représente le coût marginal. $C'(q) = \\frac{d}{dq}(0.1q^2 + 10q + 100) = 0.2q + 10$ ", "Étape 3 : Évaluer la fonction dérivée au point $q=50$ . $C'(50) = 0.2 \\times 50 + 10 = 10 + 10 = 20$ .", "Résultat : Le coût marginal de production pour 50 000 objets est de 20 milliers d'euros. Cela signifie qu'à ce niveau de production, produire un objet supplémentaire coûtera environ 20 000 euros." ] }, "mnemonics_and_analogies": [ { "concept": "La dérivée $f'(a)$ ", "trick_or_analogy": "Pense à un compteur de vitesse : la fonction $f(t)$ serait la distance parcourue en fonction du temps $t$ . La dérivée $f'(t)$ serait la vitesse instantanée à l'instant $t$ . C'est la vitesse à laquelle la distance change à un moment précis." }, { "concept": "Dérivée du produit $u \\cdot v$ ", "trick_or_analogy": "La formule $(uv)' = u'v + uv'$ peut être mémorisée avec l'idée d'une 'distributivité' : chaque fonction prend son tour pour être dérivée et multipliée par l'autre fonction intacte." }, { "concept": "Dérivée d'une composée $f(g(x))$ ", "trick_or_analogy": "Pense à des poupées russes. Pour dériver $f(g(x))$ , tu dérives d'abord la poupée extérieure $f$ (en gardant la poupée intérieure $g(x)$ intacte), puis tu multiplies par la dérivée de la poupée intérieure $g'(x)$ . Donc $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \\cdot g'(x)$ . C'est la 'règle de la chaîne'." } ], "common_mistakes": [ { "misconception": "Confondre la fonction dérivée $f'(x)$ et la valeur de la dérivée en un point $f'(a)$ .", "clarification": "La fonction dérivée $f'(x)$ est une fonction qui donne la pente en CHAQUE point $x$ . La valeur $f'(a)$ est un nombre qui donne la pente UNIQUEMENT au point d'abscisse $a$ . Il faut bien distinguer la fonction (ex: $2x$ ) de sa valeur en un point (ex: $f'(3) = 6$ ). Les deux sont liées, mais ne sont pas la même chose." }, { "misconception": "Appliquer les règles de dérivation (somme, produit, quotient) sans vérifier si la fonction est bien définie et dérivable sur l'intervalle considéré.", "clarification": "Les formules de dérivation ne s'appliquent que sur des intervalles où la fonction est dérivable. Par exemple, la fonction $f(x) = \\\sqrt{x}$ n'est pas dérivable en $0$ . Il faut toujours vérifier le domaine de dérivabilité." }, { "misconception": "Oublier la dérivée de la fonction 'intérieure' lors du calcul de la dérivée d'une fonction composée.", "clarification": "La règle de dérivation des fonctions composées est $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \\cdot g'(x)$ . Il est très fréquent d'oublier le facteur $g'(x)$ , ce qui mène à une erreur. Toujours penser à multiplier par la dérivée de la fonction 'intérieure'." } ], "gaps": [ { "missing_topic": "Dérivabilité à gauche et à droite", "importance": "optional" }, { "missing_topic": "Utilisation du taux d'accroissement pour les limites de suites récurrentes", "importance": "optional" }, { "missing_topic": "Lien formel avec l'intégrale (Théorème fondamental de l'analyse)", "importance": "optional" } ], "flashcards": [ { "front": "Quelle est la définition de la dérivée d'une fonction $f$ en un point $a$ ?", "back": "La limite du taux d'accroissement $\\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ quand $x \\to a$ , si cette limite existe. Notée $f'(a)$ . Représente la pente de la tangente." }, { "front": "Quelle est la formule de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ ?", "back": " $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ , si $f$ est dérivable en $a$ ." }, { "front": "Que peut-on dire de la monotonie d'une fonction si sa dérivée est strictement positive sur un intervalle $I$ ?", "back": "La fonction $f$ est strictement croissante sur $I$ ." }, { "front": "Dérivée de $f(x) = x^n$ pour $n \\\in \\\mathbb{N}$ ", "back": " $f'(x) = nx^{n-1}$ " }, { "front": "Dérivée de $f(x) = 1/x$ ", "back": " $f'(x) = -1/x^2$ " }, { "front": "Dérivée de $f(x) = \\\sqrt{x}$ ", "back": " $f'(x) = \\frac{1}{2\\\sqrt{x}}$ (pour $x > 0$ )" }, { "front": "Règle de dérivation de la somme : $(u+v)' = ?$ ", "back": " $(u+v)' = u' + v'$ " }, { "front": "Règle de dérivation du produit : $(u \\cdot v)' = ?$ ", "back": " $(u \\cdot v)' = u'v + uv'$ " }, { "front": "Règle de dérivation du quotient : $\\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = ?$ ", "back": " $\\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$ (avec $v \\neq 0$ )" }, { "front": "Règle de dérivation de la composée : $(f(g(x)))' = ?$ ", "back": " $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \\cdot g'(x)$ " }, { "front": "Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, comment est $f$ sur cet intervalle ?", "back": " $f$ est strictement croissante." }, { "front": "Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle, comment est $f$ sur cet intervalle ?", "back": " $f$ est strictement décroissante." }, { "front": "Qu'est-ce qu'un extremum local ?", "back": "Un point où la fonction atteint un maximum ou un minimum sur un voisinage. Souvent, la dérivée s'y annule ( $f'(x)=0$ ) si la fonction est dérivable." }, { "front": "Comment trouver les extremums d'une fonction sur un intervalle fermé $[a, b]$ ?

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Notion de fonction : images, antécédents et représentation

Structure du cours

Introduction à la Dérivée

Calcul de la Dérivée

Applications de la Dérivée

Notions clés

Dérivée d'une fonction $f$ en un point $a$

Fonction dérivée

Tangente à une courbe

Monotonie d'une fonction

Équations et inéquations : méthodes et tableaux de signes

Vecteurs et géométrie plane : bases et colinéarité