MathematiquesTerminale

Logarithme népérien : définition et propriétés

3 notions clés15 flashcardsMis à jour le 28 mai 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Le logarithme népérien, $\ln(x)$ , est la fonction réciproque de l'exponentielle $e^x$ . Il est défini pour $x > 0$ . Ses propriétés clés sont : $\ln(1)=0$ , $\ln(e)=1$ , et il transforme les produits en sommes ( $\\\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ ), les quotients en différences ( $\\\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$ ), et les puissances en multiplications ( $\\\ln(a^n) = n\ln(a)$ ). Sa dérivée est $\frac{1}{x}$ , et il est strictement croissant. La fonction $\ln(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $0^+$ et vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ . Il est essentiel de ne pas oublier que $\ln(a+b) \neq \ln(a) + \ln(b)$ , et que son domaine de définition exclut $0$ et les négatifs.

Avant de commencer

Prérequis

Fonction exponentielle $e^x$ (définition, propriétés, dérivée)
Notions de fonctions réciproques
Dérivée d'une fonction, tableau de variations
Résolution d'équations et inéquations simples
Notions d'aires sous une courbe (intuition)

Le plan

Structure du cours

1
Introduction à la fonction Logarithme Néperien
Définition et propriétés fondamentalesLien avec la fonction exponentielle
- Le logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
- Sa définition est basée sur l'aire sous la courbe de la fonction inverse de l'exponentielle.
2
Propriétés de la fonction Logarithme Néperien
Domaine de définition et ensemble imageSigne et variationsLimites aux bornesDérivée et tableau de variationsPropriétés algébriques (logarithme d'un produit, quotient, puissance)Représentation graphique
- La fonction $\ln(x)$ est définie pour $x > 0$ .
- Elle est strictement croissante et sa dérivée est $\frac{1}{x}$ .
- Les propriétés algébriques simplifient les calculs : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ , $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ , $\ln(a^n) = n\ln(a)$ .
- La courbe de $\ln(x)$ est le symétrique de celle de $e^x$ par rapport à la droite d'équation $y=x$ .
3
Applications et résolution d'équations/inéquations
Équations faisant intervenir le logarithme népérienInéquations faisant intervenir le logarithme népérienExemples concrets (modélisation, croissance, décroissance)
- L'utilisation de la fonction $\ln$ permet de résoudre des équations où l'inconnue est en exposant.
- Les propriétés de monotonie de $\ln$ sont essentielles pour résoudre les inéquations.
- Des situations de la vie réelle (croissance bactérienne, calculs financiers simples) peuvent être modélisées à l'aide de cette fonction.

À retenir

Notions clés

Fonction Logarithme Néperien

À mémoriser

La fonction $\ln$ est la fonction réciproque de la fonction exponentielle $e^x$ . Elle est définie sur $\mathbb{R}^*_+$ (les réels strictement positifs) et a pour ensemble image $\mathbb{R}$ (tous les réels). Elle est la primitive de $\frac{1}{x}$ qui s'annule en 1.

Exemple

La valeur de $\ln(e)$ est 1, car $e^1 = e$ . La valeur de $\ln(1)$ est 0, car $e^0 = 1$ ( $\ln(1)=0$ est la définition de l'aire nulle sous la courbe de $\frac{1}{t}$ de 1 à 1).

Propriétés Algébriques

À mémoriser

Pour tous réels $\alpha$ et $\beta$ strictement positifs : $\ln(\alpha\beta) = \ln(\alpha) + \ln(\beta)$ , $\ln(\\frac{\\\alpha}{\\beta}) = \ln(\alpha) - \ln(\beta)$ , $\ln(\alpha^n) = n\ln(\alpha)$ pour tout entier $n$ .

Exemple

Pour calculer $\ln(e^3 \times 5)$ , on utilise la propriété : $\ln(e^3 \times 5) = \ln(e^3) + \ln(5) = 3\ln(e) + \ln(5) = 3 + \ln(5)$ .

Dérivée de $$\ln(x)$$ et $$\ln(u(x))$$

À mémoriser

La dérivée de $f(x) = \ln(x)$ est $f'(x) = \frac{1}{x}$ pour $x > 0$ . Si $u(x)$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $u(x) > 0$ sur $I$ , alors la dérivée de $f(x) = \ln(u(x))$ est $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$ .

Exemple

Si $f(x) = \ln(x^2+1)$ , alors $u(x) = x^2+1$ , $u'(x) = 2x$ . Donc $f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ pour tout $x \in \mathbb{R} $(car$ x^2+1$$ est toujours positif).

En pratique

Exemple résolu

Résoudre l'équation $(x^2+1)e^{2x} = 5$

1
Identifier que l'inconnue est dans un exposant, suggérant l'usage du logarithme.
2
Réarranger l'équation pour isoler le terme avec l'exponentielle : $e^{2x} = \frac{5}{x^2+1}$
3
Appliquer le logarithme népérien des deux côtés de l'égalité : $\ln(e^{2x}) = \ln(\frac{5}{x^2+1})$ .
4
Simplifier le membre de gauche en utilisant la propriété $\ln(e^a) = a$ : $2x = \ln(5) - \ln(x^2+1)$ .
5
Constater que l'équation résultante $(2x + \ln(x^2+1) = \ln(5))$ n'est pas une équation polynomiale simple à résoudre analytiquement. L'utilisation de la fonction $\ln$ a permis de transformer une équation transcendante, mais la résolution peut nécessiter des méthodes numériques ou une analyse graphique.

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Le logarithme comme 'opérateur de puissance inversé'

Pense au logarithme comme la question 'À quelle puissance dois-je élever la base (ici $e$ ) pour obtenir ce nombre ?'. Par exemple, $\ln(e^3) = 3$ car il faut élever $e$ à la puissance 3 pour obtenir $e^3$ . C'est l'inverse de l'exponentiation.

Les propriétés algébriques du logarithme

Imagine que tu mesures la taille des objets. Le logarithme transforme une multiplication de taille (un objet suivi d'un autre) en une addition de tailles (la taille totale mesurée). $\ln(a \times b)$ est la 'taille' totale si tu mets bout à bout une 'taille' $a$ et une 'taille' $b$ . C'est plus simple à additionner qu'à multiplier !

Le comportement de $$\ln(x)$$ près de 0

La courbe de $\ln(x)$ descend très, très vite quand on s'approche de 0 par la droite. C'est comme si elle allait toucher le fond négatif de manière vertigineuse. La limite $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ illustre cela.

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$ .

Il n'y a pas de propriété simple pour $\ln(a+b)$ . On ne peut pas le simplifier en $\ln(a) + \ln(b)$ (qui est égal à $\ln(ab)$ ). De même, $\ln(a-b) \neq \ln(a) - \ln(b)$ . C'est $\ln(a/b)$ qui est égal à $\ln(a) - \ln(b)$ . La seule addition/soustraction possible est entre des arguments de produit/quotient.

Oublier le domaine de définition de $\ln(x)$ .

La fonction $\ln(x)$ n'est définie que pour les nombres strictement positifs ( $x > 0$ ). On ne peut pas calculer $\ln(0)$ ou $\ln(-5)$ . Lors de la résolution d'équations ou d'inéquations, il faut toujours vérifier que les solutions trouvées sont bien dans le domaine de définition.

Confondre $\ln(x)^n$ et $\ln(x^n)$ .

$\ln(x^n) = n\ln(x)$ , mais $\ln(x)^n$ n'a pas de simplification générale de ce type. Par exemple, $\ln(x^2) = 2\ln(x)$ , mais $\ln(x)^2$ reste $\ln(x)^2$ .

Se tester

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Notions d'aires sous une courbe (intuition)

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1
Introduction à la fonction Logarithme Néperien
Définition et propriétés fondamentalesLien avec la fonction exponentielle
- Le logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
- Sa définition est basée sur l'aire sous la courbe de la fonction inverse de l'exponentielle.
2
Propriétés de la fonction Logarithme Néperien
Domaine de définition et ensemble imageSigne et variationsLimites aux bornesDérivée et tableau de variationsPropriétés algébriques (logarithme d'un produit, quotient, puissance)Représentation graphique
- La fonction $\ln(x)$ est définie pour $x > 0$ .
- Elle est strictement croissante et sa dérivée est $\frac{1}{x}$ .
- Les propriétés algébriques simplifient les calculs : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ , $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ , $\ln(a^n) = n\ln(a)$ .
- La courbe de $\ln(x)$ est le symétrique de celle de $e^x$ par rapport à la droite d'équation $y=x$ .
3
Applications et résolution d'équations/inéquations
Équations faisant intervenir le logarithme népérienInéquations faisant intervenir le logarithme népérienExemples concrets (modélisation, croissance, décroissance)
- L'utilisation de la fonction $\ln$ permet de résoudre des équations où l'inconnue est en exposant.
- Les propriétés de monotonie de $\ln$ sont essentielles pour résoudre les inéquations.
- Des situations de la vie réelle (croissance bactérienne, calculs financiers simples) peuvent être modélisées à l'aide de cette fonction.

À retenir

Notions clés

Fonction Logarithme Néperien

À mémoriser

Exemple

La valeur de $\ln(e)$ est 1, car $e^1 = e$ . La valeur de $\ln(1)$ est 0, car $e^0 = 1$ ( $\ln(1)=0$ est la définition de l'aire nulle sous la courbe de $\frac{1}{t}$ de 1 à 1).

Propriétés Algébriques

À mémoriser

Exemple

Pour calculer $\ln(e^3 \times 5)$ , on utilise la propriété : $\ln(e^3 \times 5) = \ln(e^3) + \ln(5) = 3\ln(e) + \ln(5) = 3 + \ln(5)$ .

Dérivée de $$\ln(x)$$ et $$\ln(u(x))$$

À mémoriser

Exemple

Si $f(x) = \ln(x^2+1)$ , alors $u(x) = x^2+1$ , $u'(x) = 2x$ . Donc $f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ pour tout $x \in \mathbb{R} $(car$ x^2+1$$ est toujours positif).

En pratique

Exemple résolu

Résoudre l'équation $(x^2+1)e^{2x} = 5$

1
Identifier que l'inconnue est dans un exposant, suggérant l'usage du logarithme.
2
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3
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4
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5
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Propriétés Algébriques

Dérivée de $$\ln(x)$$ et $$\ln(u(x))$$

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Dérivée de $$\ln(x)$$ et $$\ln(u(x))$$

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