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Suites numériques : définitions et limites - Résumé de cours Mathematiques | Tutooris | Tutooris

MathematiquesTerminale

Suites numériques : définitions et limites

Les suites numériques associent un nombre réel à chaque entier naturel. Elles peuvent être arithmétiques (ajout constant $r$ ) ou géométriques (multiplication constante $q$ ), avec des formules explicites $u_n = u_0 + n \cdot r$ et $u_n = u_0 \cdot q^n$ . L'étude de leur monotonie (croissante/décroissante) et de leur limite est cruciale. Les suites monotones et bornées convergent. Les théorèmes de comparaison et des gendarmes aident à déterminer les limites, qui peuvent être finies (convergence) ou infinies (divergence vers $\pm\infty$ ). Les formules de somme des premiers termes existent pour les suites arithmétiques et géométriques.

5 notions clés12 flashcardsMis à jour le 7 mai 2026

Le résumé

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2nde

MathematiquesApprouvé par un enseignant

Notion de fonction : images, antécédents et représentation

Une fonction f définie sur D associe à tout réel x de D un unique réel, noté f(x). D est l’ensemble de définition de f. Si f(a) = b, alors b est l’ima...

3 notions5 cartes

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Le plan

Structure du cours

1
Introduction aux Suites Numériques
Définition d'une suite numériqueModes de génération d'une suiteReprésentation graphique d'une suite
- Une suite numérique est une fonction dont l'ensemble de définition est une partie de $\mathbb{N}$ (souvent $\mathbb{N}^*$ ou $\mathbb{N}$ ).
- Les suites peuvent être définies explicitement (terme général), par récurrence (relation entre termes successifs), ou de manière descriptive.
- La représentation graphique permet de visualiser l'évolution des termes de la suite.
2
Suites Arithmétiques
Définition et formule expliciteFormule de la somme des premiers termes
- Une suite est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante (raison $r$ ).
- Formule explicite : $u_n = u_0 + n \cdot r$ ou $u_n = u_1 + (n-1) \cdot r$
- Somme des $n+1$ premiers termes (de $u_0$ à $u_n$ ) : $S_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}$
3
Suites Géométriques
Définition et formule expliciteFormule de la somme des premiers termes
- Une suite est géométrique si le quotient entre deux termes consécutifs est constant (raison $q$ ).
- Formule explicite : $u_n = u_0 \cdot q^n$ ou $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$
- Somme des $n+1$ premiers termes (de $u_0$ à $u_n$ ) : $S_n = u_0 \cdot \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ (si $q \neq 1$ )
4
Convergence et Divergence des Suites
Limites finies et infiniesThéorèmes de comparaison et des gendarmesSuites monotones et convergentes
- Une suite converge vers $L$ si ses termes s'approchent de $L$ lorsque $n$ devient infiniment grand.
- Une suite diverge si elle tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ , ou si elle n'a pas de limite.
- Les théorèmes de comparaison et des gendarmes permettent de déterminer la limite d'une suite.
- Une suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) converge.
5
Variations et Signe des Suites
Monotonie : croissante, décroissante, constanteÉtude du signe des termes
- La monotonie s'étudie en comparant $u_{n+1}$ et $u_n$ , ou en étudiant le signe de $u_{n+1} - u_n$ ou le signe de $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (pour les suites positives).
- Comprendre le signe des termes est essentiel pour étudier la convergence et la positivité de certaines suites.

À retenir

Notions clés

Suite Numérique

À mémoriser

Une suite numérique est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$ comme $\mathbb{N}^*$ ) qui associe un nombre réel à chaque entier naturel $n$ . Le nombre $u_n$ est appelé le terme de rang $n$ .

Exemple

La suite $(u_n)$ définie par $u_n = 2n + 3$ pour $n \ge 0$ a pour premiers termes : $u_0 = 3, u_1 = 5, u_2 = 7, \dots$

Suite Arithmétique

À mémoriser

Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = u_n + r$ . La différence entre deux termes consécutifs est constante.

Exemple

La suite $u_n = 3n + 1$ est arithmétique de raison $r=3$ car $u_{n+1} - u_n = (3(n+1)+1) - (3n+1) = 3n+3+1-3n-1 = 3$ .

Suite Géométrique

À mémoriser

Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = u_n \cdot q$ . Le quotient entre deux termes consécutifs est constant.

Exemple

La suite $u_n = 5 \cdot 2^n$ est géométrique de raison $q=2$ car $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{5 \cdot 2^{n+1}}{5 \cdot 2^n} = 2$ .

Limite d'une suite

À mémoriser

Une suite $(u_n)$ a pour limite $L$ (fini) si ses termes s'approchent arbitrairement près de $L$ lorsque $n$ devient infiniment grand. Elle diverge vers $+\infty$ si ses termes dépassent toute valeur fixée lorsque $n$ devient infiniment grand.

Exemple

La suite $u_n = \frac{1}{n}$ a pour limite $0$ quand $n \to +\infty$ . La suite $u_n = n^2$ diverge vers $+\infty$ quand $n \to +\infty$ .

Suite Monotone

À mémoriser

Une suite est croissante si $u_{n+1} \ge u_n$ pour tout $n$ . Elle est décroissante si $u_{n+1} \le u_n$ pour tout $n$ . Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.

Exemple

La suite $u_n = n^2$ est croissante pour $n \ge 0$ . La suite $u_n = -n$ est décroissante.

Suites numériques : définitions et limites

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Notion de fonction : images, antécédents et représentation

Prérequis

Structure du cours

Introduction aux Suites Numériques

Suites Arithmétiques

Suites Géométriques

Convergence et Divergence des Suites

Variations et Signe des Suites

Notions clés

Suite Numérique

Suite Arithmétique

Suite Géométrique

Limite d'une suite

Suite Monotone

Exemple résolu

Astuces & analogies

Suite Arithmétique

Suite Géométrique

Limites infinies ($$+\infty$$)

Erreurs fréquentes

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