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Suites numériques : définition, types et limites - Résumé de cours Mathematique | Tutooris | Tutooris

MathematiqueTous niveaux

Suites numériques : définition, types et limites

Les suites numériques sont des listes ordonnées de nombres, définies par une formule ou une règle de récurrence. Deux types fondamentaux sont les suites arithmétiques (ajout d'une raison constante $r$ ) et géométriques (multiplication par une raison constante $q$ ). Leurs formules explicites sont $u_n = u_0 + n \cdot r$ et $v_n = v_0 \cdot q^n$ , respectivement. L'étude de leur convergence vers une limite finie ou infinie est cruciale, aidée par les théorèmes de comparaison et des gendarmes. Les formules de somme des premiers termes sont $S_n = \frac{n}{2}(u_0 + u_{n-1})$ pour les arithmétiques et $S_n = v_0 \frac{1-q^n}{1-q}$ pour les géométriques (si $q eq 1$ ).

4 notions clés9 flashcardsMis à jour le 14 juin 2026

Le résumé

Comprendre le cours

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2nde

Mathematiques

Équations et inéquations : méthodes et tableaux de signes

Pour résoudre $ax+b=0$ , on isole $x$ . Pour $A(x) \cdot B(x)=0$ , on résout chaque équation séparément. Une inéquation se résout comme une équatio...

3 notions5 cartes

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Le plan

Structure du cours

1
Introduction aux Suites Numériques
Définition d'une suiteModes de génération d'une suiteReprésentation graphique d'une suite
- Une suite est une fonction dont l'ensemble de définition est l'ensemble des entiers naturels (ou un sous-ensemble commençant à un certain entier).
- Les suites peuvent être définies par une formule explicite, une relation de récurrence, ou une description verbale.
- La représentation graphique permet de visualiser la croissance ou la décroissance de la suite et ses éventuelles limites.
2
Suites Arithmétiques
Définition et formule expliciteSomme des premiers termes
- Une suite arithmétique a une raison constante $r$ qui est ajoutée à chaque terme pour obtenir le suivant.
- La formule explicite est $u_n = u_0 + n \cdot r$ (ou $u_n = u_1 + (n-1) \cdot r$ selon le premier terme considéré).
- La somme des $n$ premiers termes (de $u_0$ à $u_{n-1}$ ) est $S_n = \frac{n}{2}(u_0 + u_{n-1})$ .
3
Suites Géométriques
Définition et formule expliciteSomme des premiers termes
- Une suite géométrique a une raison constante $q$ qui est multipliée à chaque terme pour obtenir le suivant.
- La formule explicite est $v_n = v_0 \cdot q^n$ (ou $v_n = v_1 \cdot q^{n-1}$ ).
- La somme des $n$ premiers termes (de $v_0$ à $v_{n-1}$ ) est $S_n = v_0 \frac{1-q^n}{1-q}$ si $q eq 1$ .
4
Convergence des Suites
Limites finies et infiniesOpérations sur les limitesThéorèmes de comparaison et des gendarmes
- Une suite peut converger vers une limite finie ou diverger vers $+\infty$ ou $-\infty$ .
- Des règles précises existent pour calculer la limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient de suites.
- Les théorèmes de comparaison et des gendarmes permettent de déterminer la limite d'une suite en la“coincant” entre deux autres suites dont la limite est connue.

À retenir

Notions clés

Suite Numérique

À mémoriser

Une fonction de $\mathbb{N}$ (ou un sous-ensemble de $\mathbb{N}$ ) vers $\mathbb{R}$ . On note généralement $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou $(u_n)$ . Le terme $u_n$ est appelé le terme général de la suite.

Exemple

La suite $(u_n)$ définie par $u_n = 2n + 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ a pour premiers termes : $u_0 = 1$ , $u_1 = 3$ , $u_2 = 5$ , ...

Suite Arithmétique

À mémoriser

Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un nombre réel $r$ (la raison) tel que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = u_n + r$ . La formule explicite est $u_n = u_0 + n \cdot r$ .

Exemple

La suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = u_n - 2$ est une suite arithmétique de raison $r=-2$ . Son terme général est $u_n = 5 - 2n$ ( $u_0=5, u_1=3, u_2=1, ...$ ).

Suite Géométrique

À mémoriser

Une suite $(v_n)$ est géométrique s'il existe un nombre réel $q$ (la raison) tel que pour tout entier naturel $n$ , $v_{n+1} = v_n \cdot q$ . La formule explicite est $v_n = v_0 \cdot q^n$ .

Exemple

La suite $(v_n)$ définie par $v_0 = 3$ et $v_{n+1} = v_n \cdot 4$ est une suite géométrique de raison $q=4$ . Son terme général est $v_n = 3 \cdot 4^n$ ( $v_0=3, v_1=12, v_2=48, ...$ ).

Limite d'une Suite

À mémoriser

On dit qu'une suite $(u_n)$ a pour limite $L$ (finie) si les termes $u_n$ s'approchent aussi près que l'on veut de $L$ dès que $n$ devient suffisamment grand. On note $\lim_{n \to \infty} u_n = L$ . Si les termes dépassent toute valeur réelle positive dès que $n$ est assez grand, on dit que la suite a pour limite $+\infty$ ( $\\\lim_{n \\to \\\infty} u_n = +\\\infty$ ).

Exemple

Pour $u_n = \frac{1}{n}$ , $\lim_{n \\to \\\infty} u_n = 0$ . Pour $v_n = n^2$ , $\lim_{n \\to \\\infty} v_n = +\infty$

En pratique

Exemple résolu

Une entreprise fabrique un produit. Le coût de production du premier jour est de 1000€. Chaque jour, le coût de production augmente de 50€. De plus, le prix de vente de chaque produit est de 15€. Le coût de production augmente-t-il plus vite que le prix de vente ? On suppose que le nombre de produits fabriqués est le même que le nombre de produits vendus chaque jour, et que le nombre de produits fabriqués/vendus chaque jour est égal au numéro du jour (jour 1 : 1 produit, jour 2 : 2 produits, etc.)

1
Modéliser le coût de production : Soit $C_n$ le coût de production du n-ième jour. $(C_n)$ est une suite arithmétique avec $C_1 = 1000$ et une raison $r=50$ . Le coût total pour le n-ième jour est $(n imes C_n)$ car on fabrique et vend n produits. Ce modèle est incorrect car le coût de production augmente de 50€ par jour, pas le coût par produit. Reprenons : Le coût total de production du jour $n$ est la somme des coûts journaliers. Soit $U_n$ le coût de production du jour $n$ . $(U_n)$ est une suite arithmétique : $U_1 = 1000$ et $U_{n+1} = U_n + 50$ . Donc $U_n = 1000 + (n-1) \cdot 50$ . Le profit du jour $n$ est $P_n = ( ext{chiffre d'affaires du jour } n) - ( ext{cout de production du jour } n)$ . Le chiffre d'affaires du jour $n$ est $n imes 15$ . Donc $P_n = 15n - (1000 + (n-1)50) = 15n - 1000 - 50n + 50 = -35n - 950$ . Ce calcul semble présenter un problème dans la compréhension de l'énoncé initial. Reformulons la compréhension: Le coût de production initial est de 1000€ pour le premier jour. Chaque jour, ce coût journalier augmente de 50€. Le prix de vente par produit est de 15€. Imaginons qu'on fabrique un seul produit par jour. Le profit journalier (ou perte) serait alors $P_n = 15 - U_n = 15 - (1000 + (n-1)50)$ . La question porte sur la croissance des coûts, pas sur le profit. Comparons la croissance du coût de production total et du chiffre d'affaires.
2
Correction de la modélisation : Soit $U_n$ le coût de production du jour $n$ . $(U_n)$ est une suite arithmétique avec $U_1 = 1000$ et raison $r=50$ . Donc $U_n = 1000 + (n-1)50$ . Le chiffre d'affaires total du jour $n$ , si on vend $n$ produits à 15€ l'unité, est $CA_n = 15n$ . La question est de savoir si la croissance de $U_n$ est plus rapide que celle de $CA_n$ . La croissance de $U_n$ est une augmentation constante de 50€ par jour. La croissance de $CA_n$ est une augmentation de 15€ par produit vendu, donc pour le jour $n$ , elle augmente de 15€ par rapport au jour $n-1$ , mais le terme $CA_n$ lui-même croît de manière linéaire.
3
Analyse de la croissance : Le terme $U_n = 1000 + 50n - 50 = 50n + 950$ . C'est une fonction linéaire de $n$ . Le terme $CA_n = 15n$ . C'est aussi une fonction linéaire de $n$ . Le coefficient directeur (la pente) pour $U_n$ est 50, et pour $CA_n$ il est 15. Puisque 50 > 15, le coût de production (par jour) augmente plus rapidement que le chiffre d'affaires (si l'on produit/vend 1 produit par jour).
4
Résultat : Le coût de production journalier $(U_n)$ augmente à un rythme plus soutenu (50€ par jour) que le chiffre d'affaires $(CA_n)$ dans le cas d'un produit vendu par jour (15€ par jour). Si l'on produisait et vendait $n$ produits le jour $n$ , le chiffre d'affaires serait $15n$ . Ici encore, la croissance de $U_n$ est plus rapide.
5
Erreur d'interprétation fréquente : On pourrait penser que le coût par produit augmente, mais l'énoncé dit que le coût de production augmente. Si le coût de production total du jour $n$ est $U_n$ , alors le coût par produit le jour $n$ serait $U_n / n$ . Dans ce cas, la comparaison serait différente.

Suites numériques : définition, types et limites

Comprendre le cours

Continuer à réviser

Équations et inéquations : méthodes et tableaux de signes

Prérequis

Structure du cours

Introduction aux Suites Numériques

Suites Arithmétiques

Suites Géométriques

Convergence des Suites

Notions clés

Suite Numérique

Suite Arithmétique

Suite Géométrique

Limite d'une Suite

Exemple résolu

Astuces & analogies

Suite Arithmétique

Suite Géométrique

Convergence d'une suite

Erreurs fréquentes

Flashcards

Vecteurs et géométrie plane : bases et colinéarité

Notion de fonction : images, antécédents et représentation