Suites numériques : définition, types et limites

Modéliser le coût de production : Soit $C_n$ le coût de production du n-ième jour. $(C_n)$ est une suite arithmétique avec $C_1 = 1000$ et une raison $r=50$. Le coût total pour le n-ième jour est $(n imes C_n)$ car on fabrique et vend n produits. Ce modèle est incorrect car le coût de production augmente de 50€ par jour, pas le coût par produit. Reprenons : Le coût total de production du jour $n$ est la somme des coûts journaliers. Soit $U_n$ le coût de production du jour $n$. $(U_n)$ est une suite arithmétique : $U_1 = 1000$ et $U_{n+1} = U_n + 50$. Donc $U_n = 1000 + (n-1) \cdot 50$. Le profit du jour $n$ est $P_n = ( ext{chiffre d'affaires du jour } n) - ( ext{coût de production du jour } n)$. Le chiffre d'affaires du jour $n$ est $n imes 15$. Donc $P_n = 15n - (1000 + (n-1)50) = 15n - 1000 - 50n + 50 = -35n - 950$. Ce calcul semble présenter un problème dans la compréhension de l'énoncé initial. Reformulons la compréhension: Le coût de production initial est de 1000€ pour le premier jour. Chaque jour, ce coût journalier augmente de 50€. Le prix de vente par produit est de 15€. Imaginons qu'on fabrique un seul produit par jour. Le profit journalier (ou perte) serait alors $P_n = 15 - U_n = 15 - (1000 + (n-1)50)$. La question porte sur la croissance des coûts, pas sur le profit. Comparons la croissance du coût de production total et du chiffre d'affaires.

Correction de la modélisation : Soit $U_n$ le coût de production du jour $n$. $(U_n)$ est une suite arithmétique avec $U_1 = 1000$ et raison $r=50$. Donc $U_n = 1000 + (n-1)50$. Le chiffre d'affaires total du jour $n$, si on vend $n$ produits à 15€ l'unité, est $CA_n = 15n$. La question est de savoir si la croissance de $U_n$ est plus rapide que celle de $CA_n$. La croissance de $U_n$ est une augmentation constante de 50€ par jour. La croissance de $CA_n$ est une augmentation de 15€ par produit vendu, donc pour le jour $n$, elle augmente de 15€ par rapport au jour $n-1$, mais le terme $CA_n$ lui-même croît de manière linéaire.

Analyse de la croissance : Le terme $U_n = 1000 + 50n - 50 = 50n + 950$. C'est une fonction linéaire de $n$. Le terme $CA_n = 15n$. C'est aussi une fonction linéaire de $n$. Le coefficient directeur (la pente) pour $U_n$ est 50, et pour $CA_n$ il est 15. Puisque 50 > 15, le coût de production (par jour) augmente plus rapidement que le chiffre d'affaires (si l'on produit/vend 1 produit par jour).

Résultat : Le coût de production journalier $(U_n)$ augmente à un rythme plus soutenu (50€ par jour) que le chiffre d'affaires $(CA_n)$ dans le cas d'un produit vendu par jour (15€ par jour). Si l'on produisait et vendait $n$ produits le jour $n$, le chiffre d'affaires serait $15n$. Ici encore, la croissance de $U_n$ est plus rapide.

Erreur d'interprétation fréquente : On pourrait penser que le coût par produit augmente, mais l'énoncé dit que le coût de production augmente. Si le coût de production total du jour $n$ est $U_n$, alors le coût par produit le jour $n$ serait $U_n / n$. Dans ce cas, la comparaison serait différente.