Théorème de Pythagore : formule et applications
Le résumé
Comprendre le cours
Le Théorème de Pythagore s'applique aux triangles rectangles. Il établit une relation fondamentale entre les longueurs des trois côtés : le carré de l'hypoténuse (le côté le plus long, opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. La formule est , où est l'hypoténuse. On utilise ce théorème pour calculer une longueur manquante : si on cherche , on fait ; si on cherche un côté adjacent comme , on fait . La réciproque permet de prouver qu'un triangle est rectangle si la relation est vérifiée. Il est crucial de ne pas confondre l'hypoténuse avec les autres côtés et de bien utiliser les carrés et les racines carrées.
Avant de commencer
Prérequis
Connaître la définition d'un triangle et de ses côtés.
Savoir ce qu'est un angle droit.
Comprendre la notion de carré d'un nombre (nombre multiplié par lui-même).
Savoir calculer une racine carrée (facultatif, mais très utile pour certains calculs).
Le plan
Structure du cours
- 1
Introduction au Théorème de Pythagore
Historique et ContexteApplications CourantesLe théorème relie les longueurs des côtés d'un triangle rectangle.
Il a des applications dans de nombreux domaines, de la géométrie à l'architecture.
- 2
Énoncé et Formule du Théorème
Identifier les côtés d'un triangle rectangleLa formule de PythagoreHypoténuse : le côté opposé à l'angle droit (le plus long côté).
Côtés adjacents à l'angle droit : les deux autres côtés.
où et sont les longueurs des côtés adjacents et est la longueur de l'hypoténuse.
- 3
Calculer une Longueur Inconnue
Calculer la longueur de l'hypoténuseCalculer la longueur d'un côté adjacentSi on connaît les deux côtés adjacents, on calcule .
Si on connaît l'hypoténuse et un côté adjacent, on calcule ou .
- 4
Réciproque et Contraposée du Théorème de Pythagore
La Réciproque : Prouver qu'un triangle est rectangleLa Contraposée : Prouver qu'un triangle n'est pas rectangleRéciproque : Si dans un triangle, le carré de la plus grande longueur de côté est égal à la somme des carrés des deux autres longueurs, alors ce triangle est rectangle.
Contraposée : Si dans un triangle, le carré de la plus grande longueur de côté est différent de la somme des carrés des deux autres longueurs, alors ce triangle n'est pas rectangle.
À retenir
Notions clés
Triangle Rectangle
À mémoriserUn triangle qui possède un angle droit (un angle de 90 degrés).
Les coins d'une feuille de papier, un mur et le sol formant un angle droit.
Hypoténuse
À mémoriserLe côté le plus long d'un triangle rectangle, opposé à l'angle droit.
Dans un triangle rectangle avec des côtés de longueurs 3, 4 et 5, l'hypoténuse est le côté de longueur 5.
Théorème de Pythagore
À mémoriserDans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si un triangle rectangle a des côtés de longueurs et adjacents à l'angle droit, et une hypoténuse de longueur , alors .
Réciproque du Théorème de Pythagore
À mémoriserPermet de déterminer si un triangle est rectangle en utilisant les longueurs de ses côtés. Si , alors le triangle est rectangle.
Si un triangle a des côtés de longueurs 6, 8 et 10, et que et que , alors le triangle est rectangle.
En pratique
Exemple résolu
Un jardinier veut s'assurer qu'un coin de son potager est bien d'équerre (formant un angle droit) avant de planter une haie diagonale. Il mesure 3 mètres le long d'un premier côté à partir du coin, et 4 mètres le long du second côté. Il mesure ensuite la distance entre ces deux points de mesure, qui est de 5 mètres. Le coin est-il bien d'équerre ?
- 1
Identifier les longueurs des deux côtés adjacents à l'angle : m et m.
- 2
Identifier la longueur du troisième côté (la diagonale mesurée) : m.
- 3
Appliquer la réciproque du théorème de Pythagore : Calculer la somme des carrés des deux plus petits côtés : .
- 4
Calculer le carré du plus grand côté : .
- 5
Comparer les deux résultats : Puisque , le triangle formé par les côtés du jardin est rectangle. Le coin est donc bien d'équerre.
Mémoriser plus vite
Astuces & analogies
La formule $$a^2 + b^2 = c^2$$
Imagine un triangle rectangle. Les deux petits côtés et sont comme deux bras qui se rejoignent à l'angle droit. L'hypoténuse est comme le chemin le plus court pour aller de l'extrémité d'un bras à l'extrémité de l'autre sans passer par l'angle droit. La formule dit que si tu construis des carrés sur chacun de ces côtés, la surface du grand carré (celui sur l'hypoténuse) est exactement égale à la somme des surfaces des deux petits carrés.
Se souvenir de quelle longueur on cherche
Pour trouver l'hypoténuse , tu dois additionner les carrés des autres côtés () puis prendre la racine carrée. C'est comme si tu cherchais le plus grand, donc tu 'accumules' les deux autres. Pour trouver un côté adjacent (par exemple ), tu dois soustraire le carré de l'autre côté adjacent () du carré de l'hypoténuse () puis prendre la racine carrée. C'est comme si tu 'retirais' une partie pour trouver le reste.
Ne plus se tromper
Erreurs fréquentes
Utiliser la formule au lieu de .
Le théorème de Pythagore concerne les carrés des longueurs, pas les longueurs elles-mêmes. Il faut donc élever les longueurs au carré avant de les additionner ou de les soustraire, puis prendre la racine carrée du résultat si nécessaire.
Confondre l'hypoténuse avec l'un des côtés adjacents.
L'hypoténuse est toujours le côté le plus long d'un triangle rectangle et il est toujours opposé à l'angle droit. Quand on calcule une longueur, il faut identifier correctement l'hypoténuse pour appliquer la formule correctement (par exemple, pour trouver un côté adjacent, on fait , et non ).
Oublier de prendre la racine carrée à la fin pour obtenir la longueur.
La formule donne la relation entre les carrés des longueurs. Si tu calcules (ou ou ), tu obtiens le carré de la longueur recherchée. Pour avoir la longueur elle-même, il faut impérativement calculer la racine carrée du résultat.
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