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Trigonométrie : cercle, fonctions et équations

5 notions clés17 flashcardsMis à jour le 10 mai 2026

Le résumé

Comprendre le cours

La trigonométrie étudie les liens entre angles et côtés de triangles, étendue aux angles quelconques via le cercle trigonométrique. Les fonctions clés sont le sinus (ordonnée) et le cosinus (abscisse) d'un angle, reliés par $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$ . La tangente est $sin(x)/cos(x)$ . Les radians sont l'unité d'angle standard. Des formules comme $sin(a+b)$ et des valeurs remarquables ( $\frac{\pi}{6}, \frac{\\\pi}{4}, \frac{\\\pi}{3}$ ) sont essentielles. La résolution d'équations trigonométriques repose sur la compréhension du cercle et la périodicité ( $2\pi$ pour sin/cos, $\pi$ pour tan). Elle trouve des applications en géométrie, physique et ingénierie.

Avant de commencer

Prérequis

Notions de géométrie plane (triangles, angles, perpendiculaire, parallèle).
Repérage dans le plan (coordonnées cartésiennes).
Notions de base sur les fonctions (domaine de définition, image).
Calculs algébriques élémentaires.

Le plan

Structure du cours

1
Introduction à la Trigonométrie
Définition et OriginesLe Cercle Trigonométrique : Une Représentation Clé
- La trigonométrie relie les angles et les longueurs des côtés dans les triangles.
- Le cercle trigonométrique permet d'étendre les fonctions trigonométriques aux angles quelconques.
- Origines historiques dans l'astronomie et la géométrie.
2
Les Fonctions Trigonométriques Fondamentales
Sinus (sin)Cosinus (cos)Tangente (tan)
- Définitions basées sur le triangle rectangle (angles aigus) puis sur le cercle trigonométrique.
- Relation fondamentale : $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$
- Propriétés des fonctions : périodicité, parité, valeurs remarquables.
3
Formules et Identités Trigonométriques
Angles associésFormules d'addition et de soustractionFormules de duplicationFormules de transformation
- Simplification d'expressions et résolution d'équations trigonométriques.
- Permettent de calculer des valeurs ou de transformer des expressions complexes.
4
Résolution d'Équations et Inéquations Trigonométriques
Cas général : $$cos(x) = cos(\alpha)$$, $$sin(x) = sin(\alpha)$$, $$tan(x) = tan(\alpha)$$Utilisation du cercle trigonométrique pour visualiser les solutionsCas particuliers et résolutions d'inéquations
- Trouver tous les angles satisfaisant une égalité ou une inégalité.
- Importance de la compréhension du cercle trigonométrique pour les solutions générales.
5
Applications de la Trigonométrie
Géométrie : calcul de distances et d'angles inaccessiblesPhysique : études des ondes, mécanique, électricitéIngénierie et Navigation
- Outil essentiel pour modéliser des phénomènes périodiques et résoudre des problèmes spatiaux.

À retenir

Notions clés

Cercle Trigonométrique

À mémoriser

Cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère orthonormé. Permet de représenter les angles en radians et d'associer à chaque angle un point dont les coordonnées sont le cosinus et le sinus de cet angle.

Exemple

L'angle de $\frac{\pi}{2}$ radians correspond au point $(0, 1)$ , donc $cos(\\frac{\\\pi}{2}) = 0$ et $sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ .

Sinus (sin)

À mémoriser

Pour un angle $x$ donné, le sinus est l'ordonnée du point M correspondant sur le cercle trigonométrique.

Exemple

$sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Cosinus (cos)

À mémoriser

Pour un angle $x$ donné, le cosinus est l'abscisse du point M correspondant sur le cercle trigonométrique.

Exemple

$cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Tangente (tan)

À mémoriser

Pour un angle $x$ tel que $cos(x) \neq 0$ , la tangente est définie par $tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$ . Elle correspond à l'ordonnée du point d'intersection de la droite tangente au cercle en $A(1,0)$ avec la droite passant par l'origine et le point M sur le cercle.

Exemple

$tan(\frac{\pi}{4}) = 1$

Radians

À mémoriser

Unité de mesure d'angle, où un tour complet correspond à $2\pi$ radians. Un angle de 1 radian intercepte un arc de longueur égale au rayon du cercle.

Exemple

$\pi$ radians = 180 degrés.

En pratique

Exemple résolu

Calculer la hauteur d'un arbre sans pouvoir l'escalader, connaissant la distance au pied de l'arbre et l'angle d'élévation du sommet depuis le sol.

1
Étape 1 : Modéliser la situation. On forme un triangle rectangle où l'arbre est un côté (opposé à l'angle d'élévation), la distance au sol est un autre côté (adjacent à l'angle d'élévation), et la ligne de visée vers le sommet est l'hypoténuse.
2
Étape 2 : Identifier les données. Soit 'd' la distance au sol et 'h' la hauteur de l'arbre. L'angle d'élévation est $\alpha$ . On a donc $tan(\alpha) = \frac{h}{d}$ (car le sinus et le cosinus impliqueraient la hauteur de l'observateur ou la longueur de l'hypoténuse, non données directement).
3
Étape 3 : Résoudre pour trouver la hauteur. En multipliant par 'd', on obtient $h = d \times tan(\alpha)$ . Si $d = 20$ mètres et $\alpha = 30$ degrés, alors $h = 20 \times tan(30^{\circ}) = 20 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{20 \sqrt{3}}{3}$ mètres.
4
Résultat : La hauteur de l'arbre est approximativement $11.55$ mètres.

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Valeurs remarquables du cercle trigonométrique (sinus et cosinus pour $$\frac{\pi}{6}, \frac{\\\pi}{4}, \frac{\\\pi}{3}$$)

Pour le sinus, pensez à une échelle qui monte : $\frac{\\\\\sqrt{0}}{2}, \frac{\\\\\sqrt{1}}{2}, \frac{\\\\\sqrt{2}}{2}, \frac{\\\\\sqrt{3}}{2}, \frac{\\\\\sqrt{4}}{2}$ (soit $0, \frac{1}{2}, \frac{\\\\\sqrt{2}}{2}, \frac{\\\\\sqrt{3}}{2}, 1$ ) pour les angles $0, \frac{\\\pi}{6}, \frac{\\\pi}{4}, \frac{\\\pi}{3}, \frac{\\\pi}{2}$ . Pour le cosinus, c'est la même échelle mais en ordre décroissant.

Le signe des fonctions trigonométriques dans les différents quadrants

Moyen mnémotechnique : 'All Students Take Calculus' ou en français 'Tous au Café'. Le premier mot indique quel fonction est positive dans le quadrant concerné : A (All) pour le 1er quadrant (sin, cos, tan sont positifs), S (Sinus) pour le 2ème (seul le sinus est positif), T (Tangente) pour le 3ème (seule la tangente est positive), C (Cosinus) pour le 4ème (seul le cosinus est positif).

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre les radians et les degrés.

Il est crucial de savoir convertir entre les deux systèmes (180° = $\pi$ radians) et d'être attentif aux unités utilisées dans les exercices. La plupart des calculs avancés et des formules trigonométriques supposent l'utilisation des radians.

Oublier les différentes solutions possibles lors de la résolution d'équations trigonométriques.

L'équation $cos(x) = c$ ou $sin(x) = s$ a généralement deux familles de solutions dans l'intervalle $[0, 2\pi)$ , à cause de la périodicité et de la symétrie. Il faut penser aux angles symétriques par rapport à l'axe des abscisses ou des ordonnées sur le cercle trigonométrique, et ajouter les multiples de $2\pi$ pour obtenir toutes les solutions générales.

Appliquer directement les formules sans vérifier les conditions d'existence.

Par exemple, la formule de la tangente $tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$ n'est valide que si $cos(x) \neq 0$ . De même, certaines transformations peuvent introduire des solutions (par exemple, élever au carré) ou en perdre (par exemple, diviser par une expression qui peut être nulle).

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Notions de base sur les fonctions (domaine de définition, image).
Calculs algébriques élémentaires.

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1
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- Le cercle trigonométrique permet d'étendre les fonctions trigonométriques aux angles quelconques.
- Origines historiques dans l'astronomie et la géométrie.
2
Les Fonctions Trigonométriques Fondamentales
Sinus (sin)Cosinus (cos)Tangente (tan)
- Définitions basées sur le triangle rectangle (angles aigus) puis sur le cercle trigonométrique.
- Relation fondamentale : $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$
- Propriétés des fonctions : périodicité, parité, valeurs remarquables.
3
Formules et Identités Trigonométriques
Angles associésFormules d'addition et de soustractionFormules de duplicationFormules de transformation
- Simplification d'expressions et résolution d'équations trigonométriques.
- Permettent de calculer des valeurs ou de transformer des expressions complexes.
4
Résolution d'Équations et Inéquations Trigonométriques
Cas général : $$cos(x) = cos(\alpha)$$, $$sin(x) = sin(\alpha)$$, $$tan(x) = tan(\alpha)$$Utilisation du cercle trigonométrique pour visualiser les solutionsCas particuliers et résolutions d'inéquations
- Trouver tous les angles satisfaisant une égalité ou une inégalité.
- Importance de la compréhension du cercle trigonométrique pour les solutions générales.
5
Applications de la Trigonométrie
Géométrie : calcul de distances et d'angles inaccessiblesPhysique : études des ondes, mécanique, électricitéIngénierie et Navigation
- Outil essentiel pour modéliser des phénomènes périodiques et résoudre des problèmes spatiaux.

À retenir

Notions clés

Cercle Trigonométrique

À mémoriser

Exemple

L'angle de $\frac{\pi}{2}$ radians correspond au point $(0, 1)$ , donc $cos(\\frac{\\\pi}{2}) = 0$ et $sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ .

Sinus (sin)

À mémoriser

Pour un angle $x$ donné, le sinus est l'ordonnée du point M correspondant sur le cercle trigonométrique.

Exemple

$sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Cosinus (cos)

À mémoriser

Pour un angle $x$ donné, le cosinus est l'abscisse du point M correspondant sur le cercle trigonométrique.

Exemple

$cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Tangente (tan)

À mémoriser

Exemple

$tan(\frac{\pi}{4}) = 1$

Radians

À mémoriser

Unité de mesure d'angle, où un tour complet correspond à $2\pi$ radians. Un angle de 1 radian intercepte un arc de longueur égale au rayon du cercle.

Exemple

$\pi$ radians = 180 degrés.

En pratique

Exemple résolu

Calculer la hauteur d'un arbre sans pouvoir l'escalader, connaissant la distance au pied de l'arbre et l'angle d'élévation du sommet depuis le sol.

1
Étape 1 : Modéliser la situation. On forme un triangle rectangle où l'arbre est un côté (opposé à l'angle d'élévation), la distance au sol est un autre côté (adjacent à l'angle d'élévation), et la ligne de visée vers le sommet est l'hypoténuse.
2
Étape 2 : Identifier les données. Soit 'd' la distance au sol et 'h' la hauteur de l'arbre. L'angle d'élévation est $\alpha$ . On a donc $tan(\alpha) = \frac{h}{d}$ (car le sinus et le cosinus impliqueraient la hauteur de l'observateur ou la longueur de l'hypoténuse, non données directement).
3
Étape 3 : Résoudre pour trouver la hauteur. En multipliant par 'd', on obtient $h = d \times tan(\alpha)$ . Si $d = 20$ mètres et $\alpha = 30$ degrés, alors $h = 20 \times tan(30^{\circ}) = 20 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{20 \sqrt{3}}{3}$ mètres.
4
Résultat : La hauteur de l'arbre est approximativement $11.55$ mètres.

Mémoriser plus vite

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Sinus (sin)

Cosinus (cos)

Tangente (tan)

Radians

Exemple résolu

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Formules et Identités Trigonométriques

Résolution d'Équations et Inéquations Trigonométriques

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Notions clés

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Sinus (sin)

Cosinus (cos)

Tangente (tan)

Radians

Exemple résolu

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