Exercices de maths : Bac de maths spécialité première

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0; 10]$ par $f(x) = 100e^{0.2x}$. Cette fonction modélise la population d'une colonie de bactéries en milliers au cours des 10 premiers jours ($x$ représente le nombre de jours).

1. Calculer la population initiale de la colonie (au jour 0).
2. Calculer la population de la colonie au bout de 5 jours. Donner le résultat arrondi à l'entier le plus proche.
3. On souhaite savoir quand la population atteindra 500 milliers de bactéries. Résoudre l'équation $f(x) = 500$ pour trouver le nombre de jours $x$. Donner le résultat arrondi à une décimale.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^2 - x + 1)e^{-x}$.

1. Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$ pour tout réel $x$.
2. Déterminer le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
3. Donner une équation de la droite $T_1$ tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_1 = 0$.
4. Donner une équation de la droite $T_2$ tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_2 = 1$.