Exercices de suite : Exercice

On considère deux suites numériques, $(u_n)$ et $(v_n)$.

La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = 3n + 2$.

La suite $(v_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = 2 imes 4^n$.

1. Déterminer la nature des suites $(u_n)$ et $(v_n)$. Justifier.
2. Calculer les termes $u_5$ et $v_3$.
3. Exprimer la somme des $N$ premiers termes de chaque suite, $S_{u,N}$ et $S_{v,N}$.

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_0 = 1$ et pour tout $n \ge 0$, $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + \frac{3}{2}$ et la suite $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - 3$.

1. Calculer les trois premiers termes de la suite $(u_n)$, soit $u_1, u_2, u_3$.
2. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
3. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers l'infini.