Exercices de mathematisue : Similitude direct

Soit $f$ une similitude directe du plan complexe, d'écriture complexe $z' = az + b$, avec a = rac{1}{2} + i rac{\sqrt{3}}{2} et $b = 1 + i$. On considère le point $A$ d'affixe $z_A = 2$ et le point $B$ d'affixe $z_B = 1 + i \sqrt{3}$. Calculer l'affixe $z_{A'}$ du point $A'$ image de $A$ par $f$, puis l'affixe $z_{B'}$ du point $B'$ image de $B$ par $f$. Montrer que les points $A, B, A'$ et $B'$ sont alignés. Déterminer le centre $\Omega$ de la similitude $f$.

On considère dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$ (identifié au plan complexe), la transformation $\varphi$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = (1+i)z - 2i$.

1. Montrer que $\varphi$ est une similitude directe. Préciser son centre, son rapport et son angle.
2. Soit $A$ le point d'affixe $a=2$, et $B$ le point d'affixe $b=1+i$. a) Calculer les affixes $a'$ et $b'$ des points $A'$ et $B'$ images de $A$ et $B$ par $\varphi$. b) En déduire que le rapport de la similitude $\varphi$ est égal à $\frac{A'B'}{AB}$, où $(A'B')$ et $(AB)$ désignent les longueurs des segments $\left[A'B'\right]$ et $\left[AB\right]$.
3. Soit $C$ le point d'affixe $c = -1 - i$. Calculer l'affixe $c'$ du point $C'$ image de $C$ par $\varphi$.
4. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. En déduire la nature du triangle $A'B'C'$.

Dans le plan complexe, on considère les points $A$ d'affixe $a = 1+i$, $B$ d'affixe $b = 3-i$, et $C$ d'affixe $c = 2+2i$. On cherche à déterminer s'il existe une similitude directe $s$ telle que $s(A)=B$ et $s(C)=A$.

1. Si une telle similitude existe, déterminer son centre $\Omega$ (affixe $\omega$), son rapport $k$ et son angle $\theta$.
2. Donner l'expression complexe de la similitude $s$.
3. Soit $s_1$ la similitude directe de centre $A$, de rapport 2 et d'angle $\frac{\pi}{2}$. Donner son expression complexe.
4. Soit $s_2$ la similitude directe de centre $B$, de rapport $\frac{1}{2}$ et d'angle $-\frac{\pi}{4}$. Donner son expression complexe.
5. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la similitude $s' = s_1 \circ s_2$.