ExerciceDifficilemathematiques
Étude complète d’une fonction avec dérivée et tangente
On considère la fonction f définie sur ]-1; +∞[ par
f(x) = (x - 1)ln(x + 1) - x.
- Justifier que f est dérivable sur ]-1; +∞[ et calculer f'(x).
- Étudier le signe de f'(x) et en déduire les variations de f sur ]-1; +∞[.
- Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur ]-1; +∞[ et donner un encadrement de α à 10^-2 près.
- On note T la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse x = 1. Déterminer une équation de T.
(Indication : on rappelle que ln est définie sur ]0; +∞[ et que (ln u)' = u'/u quand u > 0.)
Dériver une fonction produit avec logarithmeÉtudier le signe d’une dérivée et dresser un tableau de variationsUtiliser la monotonie pour discuter le nombre de solutions d’une équationEncadrer numériquement une racineDéterminer une équation de tangente