Test médical : probabilités conditionnelles et décision

On étudie un test de dépistage d’une maladie M dans une population.

• La proportion de personnes atteintes est P(M) = 2%.
• La sensibilité du test est de 95% : P(T+ | M) = 0,95.
• La spécificité du test est de 98% : P(T- | \overline{M}) = 0,98.

On note T+ l’événement « le test est positif » et T- l’événement « le test est négatif ».

1. Calculer P(T+).
2. Calculer P(M | T+), c’est-à-dire la probabilité qu’une personne soit réellement malade sachant que son test est positif.
3. Un médecin décide de prescrire un examen complémentaire (plus coûteux) uniquement si la probabilité P(M | T+) est au moins de 50%. D’après le calcul précédent, cette règle conduit-elle à prescrire l’examen complémentaire après un test positif ? Justifier.
4. On envisage un dépistage en deux étapes : si le premier test est positif, on refait immédiatement le même test une deuxième fois (on suppose les deux tests indépendants conditionnellement à l’état de santé). On considère alors la règle : « examen complémentaire seulement si les deux tests sont positifs ». Calculer P(M | T+\cap T+). Conclure sur l’intérêt de cette stratégie pour la prise de décision.