Test médical : probabilités conditionnelles et décision

Un test de dépistage d’une maladie est utilisé dans une population. On sait que :

• 2 % des personnes sont atteintes par la maladie.
• Si une personne est malade, le test est positif dans 95 % des cas.
• Si une personne n’est pas malade, le test est négatif dans 98 % des cas.

On choisit une personne au hasard et on note : M : « la personne est malade » ; T : « le test est positif ».

1. Construire un arbre de probabilités décrivant la situation.
2. Calculer la probabilité que le test soit positif, P(T).
3. Calculer la probabilité qu’une personne soit malade sachant que le test est positif, P(M | T). Arrondir à 10^-3.
4. Un médecin décide de proposer un examen complémentaire (plus lourd) uniquement si P(M | T) est supérieure ou égale à 0,50. Avec ce test, le médecin proposera-t-il l’examen complémentaire après un résultat positif ? Justifier.