Endomorphismes et Matrices dans des Espaces Vectoriels

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur un corps $K$, et soit $f: E \to E$ un endomorphisme de $E$. On suppose que $f \circ f = f$. Soit $A$ la matrice de $f$ dans une base quelconque de $E$.

1. Montrer que $f$ est une projection vectorielle.
2. Quelle est la relation entre la matrice $A$ et la matrice identité $I_n$ ?
3. Soit $E = \mathbb{R}^3$ et $f$ un endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est donnée par $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \ 0 & 1 & 0 \ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$. a) Vérifier que $f \circ f = f$. b) Déterminer l'image et le noyau de $f$. c) Donner une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est diagonale. Donner cette matrice diagonale.