Dérivée de f(x)=xln(x)-x

Soit la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = x \ln(x) - x$.

1. Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$.
2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0; +\infty[$.
3. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
4. Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.