Étude de fonction $f(x) = x^3 - 3x + 2$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x + 2$.

1. Calculer la dérivée de $f$, notée $f'(x)$.
2. Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$.
3. Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x=1$.