Similitude Directe et Transformation du Plan Complexe

On considère dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$ (identifié au plan complexe), la transformation $\varphi$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = (1+i)z - 2i$.

1. Montrer que $\varphi$ est une similitude directe. Préciser son centre, son rapport et son angle.
2. Soit $A$ le point d'affixe $a=2$, et $B$ le point d'affixe $b=1+i$. a) Calculer les affixes $a'$ et $b'$ des points $A'$ et $B'$ images de $A$ et $B$ par $\varphi$. b) En déduire que le rapport de la similitude $\varphi$ est égal à $\frac{A'B'}{AB}$, où $(A'B')$ et $(AB)$ désignent les longueurs des segments $\left[A'B'\right]$ et $\left[AB\right]$.
3. Soit $C$ le point d'affixe $c = -1 - i$. Calculer l'affixe $c'$ du point $C'$ image de $C$ par $\varphi$.
4. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. En déduire la nature du triangle $A'B'C'$.