Similitude Directe : Points Fixes et Compositions

Dans le plan complexe, on considère les points $A$ d'affixe $a = 1+i$, $B$ d'affixe $b = 3-i$, et $C$ d'affixe $c = 2+2i$. On cherche à déterminer s'il existe une similitude directe $s$ telle que $s(A)=B$ et $s(C)=A$.

1. Si une telle similitude existe, déterminer son centre $\Omega$ (affixe $\omega$), son rapport $k$ et son angle $\theta$.
2. Donner l'expression complexe de la similitude $s$.
3. Soit $s_1$ la similitude directe de centre $A$, de rapport 2 et d'angle $\frac{\pi}{2}$. Donner son expression complexe.
4. Soit $s_2$ la similitude directe de centre $B$, de rapport $\frac{1}{2}$ et d'angle $-\frac{\pi}{4}$. Donner son expression complexe.
5. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la similitude $s' = s_1 \circ s_2$.