Étude d'une fonction exponentielle avec logarithme népérien

On considère la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = x \ln(x) - x$.

1. Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures.
2. Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
3. Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$.
4. Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
5. En déduire le signe de $f(x)$ sur $]0; +\infty[$.