Étude d'une fonction exponentielle et logarithmique

On considère la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = \ln(x) - \ln(1+x) + \frac{1}{x}$.

1. Calculer la limite de $f(x)$ quand $x \to 0^+$ et quand $x \to +\infty$.
2. Montrer que pour tout $x > 0$, $f'(x) = \frac{1}{x(x+1)} - \frac{1}{x^2}$.
3. Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$ sur $]0; +\infty[$.