Analyse de Fonction Logarithme et Exponentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = \ln(x) - \frac{1}{2}x^2 + x$.

1. Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$ et étudier son signe.
2. En déduire les variations de la fonction $f$.
3. Déterminer la valeur exacte du maximum de la fonction $f$.
4. On cherche maintenant à résoudre l'équation $f(x) = 0$. a. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions réelles distinctes, que l'on notera $\alpha$ et $\beta$, avec $\alpha < \beta$. b. Donner un encadrement de chaque solution à $10^{-1}$ près.