Analyse de Fonction Logarithmique et Exponentielle

Soit la fonction $f$ définie sur $]-\infty, 1[$ par $f(x) = \\\ln(1-x) - x$. On note $\\\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O, \\\vec{i}, \\\vec{j})$. \n\n1. Calculer la limite de $f(x)$ quand $x \\to 1^-$. Interpréter graphiquement ce résultat.\n2. Calculer la limite de $f(x)$ quand $x \\to -\\\infty$.\n3. Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$ sur son ensemble de définition. Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$.\n4. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\\\alpha$ dans $]-\\\infty, 1[$ et donner un encadrement de $\\\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.\n5. Déterminer l'équation de la droite $T$ tangente à la courbe $\\\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.\n6. Tracer la droite $T$ et la courbe $\\\mathcal{C}$ sur un graphique.", "hints": [], "solution_steps": [ "1. Pour la limite en $1^-$, on utilise les propriétés du logarithme népérien. Quand $x \\to 1^-$, $1-x \\to 0^+$, donc $\\\ln(1-x) \\to -\\\infty$. La limite de $f(x)$ est donc $-\\\infty$. Graphiquement, cela signifie que la droite $x=1$ est une asymptote verticale à la courbe $f$.", "2. Quand $x \\to -\\\infty$, $1-x \\to +\\\infty$, donc $\\\ln(1-x) \\to +\\\infty$. Par ailleurs, $-x \\to +\\\infty$. La limite de $f(x)$ est donc $+\\\infty$.", "3. La dérivée de $f(x) = \\\ln(1-x) - x$ est $f'(x) = \\frac{-1}{1-x} - 1 = \\frac{-1 - (1-x)}{1-x} = \\frac{x-2}{1-x}$. \n Pour étudier le signe de $f'(x)$ sur $]-\infty, 1[$, on étudie le signe du numérateur $(x-2)$ et du dénominateur $(1-x)$.\n - Si $x < 1$, alors $1-x > 0$.\n - Si $x < 1$, alors $x-2 < 0$.\n Donc, pour $x \\\in ]-\infty, 1[$, $f'(x) = \\frac{\\text{negatif}}{\\text{positif}} < 0$. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\\\infty, 1[$.", "4. La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur $]-\\\infty, 1[$. On a $\\\lim_{x \\to -\\\infty} f(x) = +\\\infty$ et $\\\lim_{x \\to 1^-} f(x) = -\\\infty$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $f(x) = 0$. \n Calculons quelques valeurs : $f(0) = \\\ln(1) - 0 = 0$. Donc $\\\alpha = 0$. Si la question avait été de trouver un encadrement, on aurait calculé $f(a)$ et $f(b)$ pour trouver $a$ et $b$ tels que $f(a)f(b)<0$. Par exemple, $f(-1) = \\\ln(2) - (-1) = \\\ln(2) + 1 \\\approx 0.693 + 1 = 1.693 > 0$ et $f(0.5) = \\\ln(0.5) - 0.5 = -\\\ln(2) - 0.5 \\\approx -0.693 - 0.5 = -1.193 < 0$. Donc $0.5 < \\\alpha < 1$. L'encadrement d'amplitude $0.5$ est trouvé.", "5. L'équation de la tangente à la courbe $f$ au point d'abscisse $x_0=0$ est donnée par $y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$.\n On a $x_0 = 0$, $f(0) = 0$ et $f'(0) = \\frac{0-2}{1-0} = -2$.\n L'équation de la tangente $T$ est donc $y = -2(x-0) + 0$, soit $y = -2x$.", "6. Tracer la droite $y = -2x$ passant par l'origine avec une pente de $-2$. Tracer la courbe $f(x) = \\\ln(1-x) - x$. La courbe passe par $(0,0)$, est tangente à $y=-2x$ en $(0,0)$ et admet $x=1$ comme asymptote verticale avec $f(x) \\to -\\\infty$ quand $x \\to 1^-$. La fonction est décroissante sur $]-\infty, 1[$. Elle vient de $+\infty$ pour $x \to -\infty$ et décroît jusqu'à $-\infty$ en $1^-$, en passant par $(0,0)$.