Fonction logarithmique Neperien : f(x) = ln(x) - x + 1

On considère la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = \ln(x) - x + 1$.

1. Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures.
2. Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
3. Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$.
4. Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$.
5. Calculer la valeur de $f(1)$ et en déduire le signe de $f(x)$ pour tout $x > 0$ (on pourra utiliser le tableau de variations).