Fonction ln : étude de $x\ln(x)-x$

Soit la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = x \ln(x) - x$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$.

1. Calculer la limite de $f(x)$ quand $x \to 0^+$ et quand $x \to +\infty$.
2. Étudier les variations de $f$ sur son domaine de définition. Préciser le tableau de variations complet.
3. Déterminer l'équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x=1$.
4. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$ et donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
5. Déterminer le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$