Limites, variations et équations de $f(x)=\ln(x)-1/x$

On considère la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \\\ln(x) - \\frac{1}{x}$. \\\n1. Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures, puis quand $x$ tend vers $+\\infty$.\n2. Étudier les variations de $f$ sur son domaine de définition.\n3. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\\\alpha$ dans $]0, +\\infty[$ et donner un encadrement de $\\\alpha$ d'amplitude $0.1$.\n4. En déduire le signe de $f(x)$ sur $]0, +\infty[$ et résoudre l'inéquation $f(x) \\\geq 0$.", "hints": [ "Pour la première question, rappelez-vous les limites usuelles de $\\\ln(x)$ et de $\\frac{1}{x}$ lorsque $x$ tend vers $0^+$ et $+\\\infty$.", "Pour l'étude des variations, calculez la dérivée de $f(x)$ et étudiez son signe.", "Pour trouver la solution unique et son encadrement, utilisez le théorème des valeurs intermédiaires et testez des valeurs du type $1.7, 1.8, 1.9$ par exemple." ], "solution_steps": [ "Limites :\n- Quand $x \\to 0^+$, $\\\ln(x) \\to -\\\infty$ et $\\frac{1}{x} \\to +\\\infty$. Ainsi, $f(x) = \\\ln(x) - \\frac{1}{x} \\to -\\\infty - (+\\\infty) = -\\\infty$.\n- Quand $x \\to +\\\infty$, $\\\ln(x)$ tend vers $+\\\infty$ et $\\frac{1}{x}$ tend vers $0$. Ainsi, $f(x) \\to +\\\infty - 0 = +\\\infty$.", "Variations :\n- La dérivée de $f(x)$ est $f'(x) = \\frac{1}{x} - (-\\frac{1}{x^2}) = \\frac{1}{x} + \\frac{1}{x^2}$.\n- Pour $x > 0$, $x$ et $x^2$ sont strictement positifs, donc $f'(x) = \\frac{1}{x} + \\frac{1}{x^2} > 0$.\n- La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]0, +\infty[$.", "Existence et unicité de $\\\alpha$ :\n- La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $]0, +\infty[$. Ses limites en $0^+$ et en $+\\\infty$ sont respectivement $-\\\infty$ et $+\\\infty$.\n- D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour toute valeur réelle $k$, il existe une unique solution à l'équation $f(x) = k$. En particulier, pour $k=0$, il existe une unique solution $\\\alpha$ à $f(x)=0$.\n- Calculons quelques valeurs : $f(1) = \\\ln(1) - \\frac{1}{1} = 0 - 1 = -1$. f(2) = \\\ln(2) - \\frac{1}{2} \\\approx $$0.693 - 0.5 = 0$$.193. Puisque $f(1) < 0$ et $f(2) > 0$, $\\\alpha$ est dans $]1, 2[$.\n- Testons des valeurs intermédiaires : $f(1.7) = \\\ln(1.7) - \\frac{1}{1.7} \\\approx 0.530 - 0.588 = -0.058$. f(1.8) = \\\ln(1.8) - \\frac{1}{1.8} \\\approx $$0.587 - 0.555 = 0$$.032. Comme $f(1.7) < 0$ et $f(1.8) > 0$, l'unique solution $\\\alpha$ est dans l'intervalle $]1.7, 1.8[$.", "Signe de $f(x)$ et résolution de l'inéquation :\n- Puisque $f$ est strictement croissante et $f(\\\alpha)=0$, on a : $f(x) < 0$ pour $x \\\in ]0, \\\alpha[$ et $f(x) > 0$ pour $x \\\in ]\\\alpha, +\\\infty[$.\n- L'inéquation $f(x) \\\geq 0$ est donc équivalente à $x \\\geq \\\alpha$. Le domaine de définition de $f$ est $]0, +\infty[$, donc la solution de l'inéquation $f(x) \geq 0$ est l'intervalle $[\alpha, +\infty[$. L'encadrement de $\alpha$ trouvé est 1.7 < \$$alpha < 1$$.8.