Dérivabilité et continuité en zéro : $x^2\sin(1/x)$

Soit la fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par :

$f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & \text{si } x \ne 0 \ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$

1. Étudier la continuité de $f$ en $x=0$.
2. Étudier la dérivabilité de $f$ en $x=0$. Si elle est dérivable, calculer $f'(0)$.
3. Étudier la continuité de la fonction dérivée $f'$ en $x=0$, si elle existe.