Dérivées : fonction définie par morceaux

Soit la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}$ par : $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x < 0 \ -x + 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

1. Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs inférieures et par valeurs supérieures. Que peut-on conclure concernant la continuité de $f$ en $x=0$ ?
2. Calculer la dérivée de $f(x)$ pour $x < 0$ et pour $x > 0$.
3. Étudier la dérivabilité de $f$ en $x=0$ en utilisant les limites des taux d'accroissement à gauche et à droite en $x=0$. Que peut-on conclure ?
4. Calculer la fonction dérivée $f'(x)$ de $f(x)$ pour $x \ne 0$ et représenter graphiquement la fonction $f$ ainsi que sa fonction dérivée sur l'intervalle $[-2, 2]$.