Endomorphisme de R3 : noyau et image

Soit $\mathbb{R}^3$ l'espace vectoriel usuel sur $\mathbb{R}$. On considère l'application $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ définie pour tout $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ par : $f(x, y, z) = (2x - y + z, -x + 2y + z, x + y + 2z)$.

1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$.
2. Déterminer une base et la dimension du noyau de $f$, noté $\text{Ker}(f)$.
3. Déterminer une base et la dimension de l'image de $f$, notée $\text{Im}(f)$.
4. $f$ est-il un automorphisme ? Justifier.
5. Montrer que $\text{Ker}(f)$ et $\text{Im}(f)$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mathbb{R}^3$.