Logarithme : Croissance exponentielle bactéries

Une population de bactéries évolue selon un modèle de croissance où le nombre de bactéries $N(t)$ à l'instant $t$ (exprimé en heures) est donné par la fonction $N(t) = 1000 \cdot e^{0.5t}$, pour $t \ge 0$.

1. Calculer le nombre de bactéries au bout de 4 heures. Donner le résultat arrondi à l'entier le plus proche.
2. Déterminer le temps nécessaire pour que la population atteigne 100 000 bactéries. Exprimer le résultat en heures, arrondi à deux décimales.
3. On souhaite modéliser cette croissance en utilisant la fonction logarithme. Soit $f(t) = \ln(N(t))$. a) Exprimer $f(t)$ en fonction de $t$. b) Montrer que la fonction $f$ est une fonction affine. Préciser sa pente et son ordonnée à l'origine. c) Utiliser cette nouvelle représentation pour retrouver le résultat de la question 2.