Suites numériques : $(u_n)$ et $(v_n)$

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_0 = 1$ et pour tout $n \ge 0$, $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + \frac{3}{2}$ et la suite $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - 3$.

1. Calculer les trois premiers termes de la suite $(u_n)$, soit $u_1, u_2, u_3$.
2. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
3. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers l'infini.