Fonction exponentielle : f(x)=xe⁻ˣ

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x e^{-x}$.

1. Étudier les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
2. Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$ et étudier son signe.
3. En déduire le tableau de variations complet de la fonction $f$.
4. Calculer l'intégrale $I = \int_0^1 f(x) dx$.