Suite : calcul et convergence

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0 = 5$ et pour tout $n \ge 0$, $u_{n+1} = 0.5 u_n + 3$.

1. Calculer les trois premiers termes de la suite, c'est-à-dire $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. On conjecture que la suite $(u_n)$ est convergente. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée.
3. Pour étudier la convergence, on définit une suite auxiliaire $(v_n)$ par $v_n = u_n - 6$. a. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme. b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. c. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.